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2020-10008-0101
2020 小樽商科大学 前期
(1)〜(3)を合わせて配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 次の の中を適当に補って,それを答案用紙に書け.証明や説明を書かないこと.
(1) 座標空間において, 2 点 A (1, 0,-1 ), B (2, -3,1 ) を通る直線が x⁣ y 平面と交わる点を P , y⁣z 平面と交わる点を Q とする.このとき,線分 PQ の中点の座標は (a) である.
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(2) 4x- 2x+3 -2+ 12 x-4 =0 を満たす実数 x をすべて求めると, x= (b) である.
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(3) 2 次式 P⁡ (x) は, x-1 で割ったときの余りが 1 であり,
∫ x-1x P⁡( t)⁢ dt=P ⁡(x) -x2
を満たす.このとき, P⁡( x)= (c) である.
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配点40点
【2】 0≦θ ≦π 2 のとき,関数 y= 3⁢sin⁡2 ⁢θ-7⁢ sin⁡θ-7 ⁢cos⁡θ+ 1 について次の問いに答えよ.
(1) t=sin⁡ θ+cos⁡ θ とおく,そのとり得る値の範囲を求めよ.
(2) y を t で表せ.
(3) y のとり得る値の範囲を求めよ.
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(1)〜(3)で配点60点
【3】 次の の中を適当に補って,それを答案用紙に書け.証明や説明を書かないこと.
(1) U=( n|n は 1≦ n≦2020 を満たす自然数 } を全体集合とし,その部分集合を
A={ n|n ∈U ,n は 2の倍数 }, B={ n|n ∈U ,n は3 の倍数 }
とするとき, A‾∪ B の要素の個数は (ア) である.ここで, A‾ は A の補集合を表す.
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(2) 1≦j< k≦9 となる自然数 j , k を考える.すべての組合せについて積 j⁢ k を足し合わせると (イ) である.
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(3) さいころを 2 回投げ,出た目を順に p , q とする.座標平面上の 3 点 (0, p), (q, 0), (7, 7) を頂点とする三角形の面積が整数となる確率は (ウ) である.
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【4】と【5】から1題選択
【4】 1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC の辺 BC 上に点 P をとり,辺 AC 上に ∠APQ =60⁢ ° を満たす点 Q をとる,このとき,以下の問いに答えよ.
(1) ▵ABP と ▵PCQ が相似であることを証明せよ.
(2) 点 P が辺 BC 上を動くとき, ▵PCQ の面積の最大値を求めよ.
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【5】 直線 l 1 , l2 および曲線 C を
l1: y=x , l2: y=-x+ 1, C:y= log⁡x
で定め, l3 を l2 に平行で点 (e,1 ) を通る直線とする.このとき, l1 , l2 , l3 , C で囲まれた図形の面積を求めよ.ただし, log⁡x は自然対数とし, e は自然対数の底とする.