2020　帯広畜産大学　前期総合問題MathJax

2020-10009-0101

2020　帯広畜産大学　前期総合問題

易□　並□　難□

【９】　初項 $1 ，$ 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列 ${a_{n}}$ の一般項を $a_{n} ，$ 初項 $1 ，$ 公比 $r$ の等比数列 ${b_{n}}$ の一般項を $b_{n}$ とし，数列 ${c_{n}}$ の一般項 $c_{n}$ を

$c_{n} = \log_{2} (\frac{\log_{r} b_{n + 3}}{\log_{r} b_{n + 1}})$

で定義する． $2$ つのベクトル $\vec{p_{n}} = (a_{n}, a_{n + 1}) ，$ $\vec{q_{n}} = (b_{n}, b_{n + 1})$ のなす角を $θ_{n}$ とする．ただし， $n$ は自然数であり， $r > 1 ，$ $0 ≦ θ_{n} ≦ π$ とする．次の各問に答えなさい．

問１　 $r = 2$ とし，ベクトル $\vec{p_{n}} ，$ $\vec{q_{n}} ，$ $\vec{p_{n}} - \vec{q_{n}}$ の大きさをそれぞれ $| \vec{p_{n}} | ，$ $| \vec{q_{n}} | ，$ $| \vec{p_{n}} - \vec{q_{n}} |$ とする．

(1)　 $a_{n} ，$ $b_{n}$ をそれぞれ $n$ の式で表しなさい．

(2)　 $| \vec{p_{n}} | ，$ $| \vec{q_{n}} |$ をそれぞれ $n$ の式で表しなさい．

(3)　 $\sin θ_{n} ，$ $\cos θ_{n} ，$ $\sin (θ_{n} + θ_{n + 1}) ，$ $\cos (θ_{n} + θ_{n + 1})$ の値をそれぞれ求めなさい．

(4)　 ${| \vec{p_{2}} - \vec{q_{2}} |}^{2} - {| \vec{p_{1}} - \vec{q_{1}} |}^{2}$ の値を求めなさい．

問２　数列 ${c_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする．

(1)　 $b_{n}$ を $r$ と $n$ の式で表しなさい．

(2)　 $c_{n} ，$ $S_{n}$ をそれぞれ $n$ の式で表しなさい．

(3)　 $S_{n} > 1 + \log_{2} 5$ となる $n$ の最小値を求めなさい．

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2020　帯広畜産大学　前期総合問題

易□　並□　難□

【10】　関数 $f (x) = a x^{2} + 2 b x$ は点 $(2, 4)$ で極値をとる．関数

$f (x) ，$ $g (x) = a x^{2} + b x ，$ $h (x) = a {(x - 2)}^{2} + b (x - 2)$

を用いて $3$ つの曲線

$C_{f} ： y = f (x) ，$ $C_{g} ： y = g (x) ，$ $C_{h} ： y = h (x)$

を定義する．曲線 $C_{f}$ と $C_{g} ，$ $C_{f}$ と $C_{h} ，$ $C_{g}$ と $C_{h}$ の交点をそれぞれ $U ，$ $V ，$ $W$ とする．ただし， $a ，$ $b$ は定数である．次の各問に答えなさい．

問１(1)　 $a ，$ $b$ の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　関数 $f (x)$ の導関数を求めなさい．

(3)　点 $U ，$ $V ，$ $W$ の座標をそれぞれ求めなさい．

(4)　 $3$ つの曲線 $C_{f} ，$ $C_{g} ，$ $C_{h}$ で囲まれた部分の面積を求めなさい．

問２　直線 $L ： y = β x$ と曲線 $C_{f} ，$ $C_{g}$ との交点をそれぞれ $P ，$ $Q$ とし，それらの $x$ 座標をそれぞれ $p ，$ $q$ とする．点 $P ，$ $Q$ からそれぞれ $x$ 軸に垂線 $PA ，$ $QB$ を下ろす． $▵PUA$ の面積と $▵QUB$ の面積の和を $S$ とする．ただし， $2 < p ≦ 4$ とする．

(1)　 $β ，$ $q ，$ $S$ をそれぞれ $p$ の式で表しなさい．

(2)　 $S$ が最大になるときの $p$ の値を求めなさい．

(3)　直線 $L$ が曲線 $C_{h}$ に接するとき，その接点の座標を求めなさい．

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