2020 旭川医科大学 前期

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2020 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  n 0 以上の整数とする.点 (n ,0) から曲線 C y=log x に引いた接線の接点の x 座標を a n とおく.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  a0 の値を求めよ.

問2 直線 x =an 曲線 C および x 軸で囲まれる部分の面積を求めよ.

問3 次の極限を求めよ.ただし, limn a n= であることは用いてよい.

(1)  limn (a n+1 -an )

(2)  limn a nlog an n

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易□ 並□ 難□

【2】  a b r は正の実数で 0 <b<a <r< a2+ b2 とし,楕円 x2 a2 + y2b2 =1 C とおく.点 P (p, q) は円 x 2+y2 =r2 上の点で p >a q0 を満たす.このとき,次の各問いに答えよ.

問1 点 P から楕円 C に引いた 2 本の接線の傾きをそれぞれ m1 m2 m1< m2 とするとき, m1+ m2 m 1m 2 p q a b を用いて表せ.

問2 問1で引いた傾き m 1 m2 の接線の接点をそれぞれ Q1 Q2 とする. 3 P Q1 Q2 を頂点とする三角形において, Q1 P Q2 の大きさを θ 0<θ< π とする.

(1)  tanθ p q r a b を用いて表し, Q1 P Q2 が鈍角であることを示せ.

(2)  r a 2+b 2 より小さい値をとりながら a 2+b 2 に限りなく近づくとき,点 P (r, 0) における θ の極限値を求めよ.

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【3】 座標平面上で x 座標と y 座標がともに整数である点 ( x,y ) こう てん という. n を正の整数として,次の 3 つの不等式を同時に満たす領域を D n とする.

yx2 y- x2-2 nx +4n 2 1x n

領域 D n に含まれる格子点の総数を a n とするとき,次の各問いに答えよ.

問1  a2 を求めよ.

問2  n3 のとき, an を求めよ.

問3  n3 のとき,領域 D n の境界線上の格子点の総数を b n とする.

(1) 領域 D n の面積 S n を求めよ.

(2)  limn Sn- (an- 12 bn-1 )n を求めよ.

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【4】  p 2 p=3 を満たす実数とする.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  p は無理数であり, 3 2<p < 85 であることを示せ,

問2 次の 2 式を満たす x y p を用いて表せ.

2x+ y-2 =9y -1 22 x-1 =33 x-y+ 1

問3  a b を有理数とする.次の 2 式を満たす有理数 x y が存在するように a b を求めよ.

2x+ y-2 =9y -a 22 x-b =3 3x-y +1

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