2020　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$n$を$0$以上の整数とする．点$(一n,0)$から曲線$C\text{：}y=\log x$に引いた接線の接点の$x$座標を$a_n$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$a_0$の値を求めよ．

問２　直線$x=a_n\text{，}$曲線$C$および$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

問３　次の極限を求めよ．ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty$であることは用いてよい．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_{n+1}-a_n)$

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n\log a_n}{n}}$

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$r$は正の実数で$0<b<a<r<\sqrt{a^2+b^2}$とし，楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$を$C$とおく．点$\mathrm{P}$$(p,q)$は円$x^2+y^2=r^2$上の点で$p>a\text{，}$$q\geqq 0$を満たす．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$から楕円$C$に引いた$2$本の接線の傾きをそれぞれ$m_1\text{，}$$m_2$$\text{（}{m}_1<m_2\text{）}$とするとき，$m_1+m_2$と$m_1{m}_2$を$p\text{，}$$q\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

問２　問１で引いた傾き$m_1\text{，}$$m_2$の接線の接点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$を頂点とする三角形において，$\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_1\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_2$の大きさを$\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．

(1)　$\tan \theta$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表し，$\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_1\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_2$が鈍角であることを示せ．

(2)　$r$が$\sqrt{a^2+b^2}$より小さい値をとりながら$\sqrt{a^2+b^2}$に限りなく近づくとき，点$\mathrm{P}$$(r,0)$における$\theta$の極限値を求めよ．

【３】　座標平面上で$x$座標と$y$座標がともに整数である点$(x,y)$を$\stackrel{\text{こう}}{\text{格}}$$\stackrel{\text{し}}{\text{子}}$$\stackrel{\text{てん}}{\text{点}}$という．$n$を正の整数として，次の$3$つの不等式を同時に満たす領域を$D_n$とする．

$y\geqq x^2\text{，}$$y\leqq -x^2-2nx+4n^2\text{，}$$1\leqq x\leqq n$

領域$D_n$に含まれる格子点の総数を$a_n$とするとき，次の各問いに答えよ．

問１　$a_2$を求めよ．

問２　$n\geqq 3$のとき，$a_n$を求めよ．

問３　$n\geqq 3$のとき，領域$D_n$の境界線上の格子点の総数を$b_n$とする．

(1)　領域$D_n$の面積$S_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n-(a_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n-1)}{n}}$を求めよ．

【４】　$p$は$2^p=3$を満たす実数とする．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$p$は無理数であり，${\displaystyle \frac{3}{2}}<p<{\displaystyle \frac{8}{5}}$であることを示せ，

問２　次の$2$式を満たす$x\text{，}$$y$を$p$を用いて表せ．

$2^{x+y-2}=9^{y-1}\text{，}$$2^{2x-1}=3^{3x-y+1}$

問３　$a\text{，}$$b$を有理数とする．次の$2$式を満たす有理数$x\text{，}$$y$が存在するように$a\text{，}$$b$を求めよ．

$2^{x+y-2}=9^{y-a}\text{，}$$2^{2x-b}=3^{3x-y+1}$