2020　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$x$が$2\leqq \left|x\right|\leqq 3$を満たして動くとき，$2$次関数$y=2x^2+3x-2$の最小値と最大値をそれぞれ求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,7)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,-5)$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$m^2+155=n^2$を満たす自然数$m\text{，}$$n$の組をすべて求めよ．

【２】　$100$円硬貨$5$枚と$50$円硬貨$3$枚の合わせて$8$枚の硬貨を同時に投げるとき，次の問いに答えよ．ただし，どの硬貨も表と裏が出る確率はいずれも${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるものとする．

(1)　表が出た硬貨の合計金額が$400$円となる確率を求めよ．

(2)　表が出た硬貨の合計金額が$600$円未満である確率を求めよ．

(3)　表が出た硬貨の合計金額が$400$円であったとき，表が出た$50$円硬貨が少なくとも$1$枚ある条件付き確率を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が，

$a_1=31\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{(n+3)a_n-28}{n+2}}$$\text{（}n=1\text{．}2\text{．}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$の値を求めよ．

(2)　(1)の結果から一般項$a_n$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{40}}{a}_n$の値を求めよ．

【４】　曲線$y=x^3-x$を$C$とし，$C$上の点$(a,a^3-a)$における$C$の接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と接線$l$は，接点と異なる点で交わるが，この交点の$x$座標を求めよ．

(3)　曲線$C$と接線$l$で囲まれた図形の面積が$108$であるとき，$a$の値を求めよ．

【５】　曲線$y=x\sin x$を$C$とし，直線$l$は$x$座標が${\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$の点において曲線$C$と接しているとするとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$の部分と直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\log }_6(\sqrt{9x^2+x}-3x)$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　直線$y=mx$と$y={\displaystyle \frac{1}{m}}x$のなす角を$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．$m>1$のとき，$\tan \theta$を$m$の式で表せ．さらに，$\cos \theta$を$m$の式で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　${\log }_{10}3=0.477$とし，不等式${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{\frac{n}{8}}<{\displaystyle \frac{1}{2700}}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$には赤球が$2$個と白球が$4$個，$\mathrm{B}$には赤球が$1$個入っている．$\mathrm{A}$から$2$個の球を取り出して$\mathrm{B}$に入れるとき，$\mathrm{B}$の中で赤球の数が白球の数より多くなる確率を求めよ．

【２】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$の上に点$\mathrm{P}$$(a,b)$が存在し，$a>0\text{，}$$b>0$とする．点$\mathrm{P}$における接線を$l\text{，}$法線を$m$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の傾きを求めよ．

(2)　法線$m$の方程式を求めよ．

(3)　$y$軸，法線$m\text{，}$直線$y=b$で囲まれた部分の面積を$S$とする．面積$S$が最大となる点$\mathrm{P}$$(a,b)$の座標と，そのときの$S$の値を求めよ．

【３】　初項から第$4$項までが，

$a_1=2\text{，}$$a_2=6\text{，}$$a_3=12\text{，}$$a_4=20$

で与えられる数列$\{a_n\}$がある．その階差数列$\{b_n\}$が等差数列であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(4)　数列$\{c_n\}$の一般項が，設問(3)の$S_n$を用いて$c_n={\displaystyle \frac{n+1}{S_n}}$と与えられるとき，数列$\{c_n\}$の第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上で，曲線$y=\sqrt{x}$上を動く点を$\mathrm{P}$とする．$y$軸上の点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$を満たし，かつ，その$y$座標が正の値をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$として点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡の方程式を求めよ．

(3)　$\mathrm{OP}=\mathrm{PQ}$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【５】　$2$つの正の定数を$a\text{，}$$b$とする．座標平面上に$(\pm a,0)\text{，}$$(0,\pm b)$を頂点とする楕円があり，その第$1$象限部分の曲線を$C$として，以下の問いに答えよ．

(1)　この楕円の方程式を書け．また，楕円の$y\geqq 0$の部分を表す方程式を$y=f(x)$の形で書け．

(2)　設問(1)の$f(x)$に関する定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　頂点$(a,0)\text{，}$$(0,b)$を結ぶ直線と曲線$C$によって囲まれる領域を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【５】　四角形$\mathrm{ABCD}$に$2$本の対角線を引き，角${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\theta }_8$を右の図のように定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}}$を$\sin {\theta }_1\text{，}$$\sin {\theta }_4$を用いて表せ．

(2)　$\sin {\theta }_1\sin {\theta }_3\sin {\theta }_5\sin {\theta }_7$$=\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4\sin {\theta }_6\sin {\theta }_8$となることを示せ．