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2020 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【1】  a - 2a 3 を満たす実数とする.次の性質をもつ関数 f (x ) を考える.

f( x)={ 0 x<-2 のとき) (x- a) (x+2 ) -2 xa のとき) 2( x-a) (x- 3) ax 3 のとき) 0 x> 3のとき)

曲線 y =f( x) x 軸で囲まれる図形の面積を S (a) とおく.

(1)  S( a) を求めよ.

(2)  S( a) が最大となる a の値を求めよ.また, S( a) が最小となる a の値を求めよ.

2020 東北大学 前期

文系,理系共通

理系は【3】

易□ 並□ 難□

【2】  n を正の整数, a b 0 以上の整数とする.

(1)  n3 のとき不等式 2 n+n 2+8< 3n が成り立つことを示せ.

(2) 不等式 2 n+n2 +8 3n を満たす n をすべて求めよ.

(3) 等式 2 n+n2 +8=3 n+an +b を満たす a b n の組 (a,b ,n) をすべて求めよ.

2020 東北大学 前期

文系,理系共通

理系は【2】

易□ 並□ 難□

【3】  a 0 でない実数とする. xy 平面において,円 C x2- 2a x+y2 -4y +4=0 直線 L -4 x+3y +a=0 直線 M 3x +4y- 7a= 0 を考える.

(1)  L M の交点が C 上にあるような a の値を求めよ.

(2)  C L が異なる 2 つの共有点をもつような a の値の範囲を求めよ.

(3) 集合 { P| P C L の共有点} {P | P C M の共有点 } の要素の個数が 3 となるような a の値をすべて求めよ.

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文系

易□ 並□ 難□

【4】  6 枚の硬貨を同時に投げて,表がでた硬貨が s 枚,裏がでた硬貨が t 枚であったとき,ベクトル p =( x,y) p =s (2,- 1)+t (-1 ,2) で定める.

(1)  x+y の値を求めよ.

(2)  p =(0 ,6) となる確率を求めよ.

(3)  p q =( 3,1 ) のなす角が π6 以下となる確率を求めよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【1】  AB=1 AC=1 BC= 12 である ▵ABC の頂点 B から辺 AC に下ろした垂線と辺 AC との交点を H とする.

(1)  ∠BAC θ と表すとき, cosθ sinθ の値を求めよ.

(2) 実数 s 0 <s<1 の範囲を動くとする.辺 BH s :(1 -s) に内分する点を P とするとき, AP2 +BP2 +CP2 の最小値およびそのときの s の値を求めよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【4】 白玉 3 個,赤玉 2 個の合計 5 個の玉が入った箱と硬貨がある.箱から無作為に玉を 1 個取り出し,硬貨を投げて表が出たら,その玉を手元に残し,裏が出たら箱に戻す試行を行う.試行後に箱の中の玉がなくなったら試行は停止する.また,最初手元に玉はないものとする.

(1)  2 回の試行の結果,手元に白玉が 2 個ある確率を求めよ.

(2)  3 回の試行の結果,手元の玉が白玉 1 個,赤玉 1 個の計 2 個となる確率を求めよ.

(3)  n 5 以上の整数とし,ちょうど n 回目で試行が停止する確率 p n を求めよ.

(4) (3)の確率 p n が最大となる n を求めよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【5】 実数 t に対して複素数 z =- -1t +i を考える.ただし, i は虚数単位とする.

(1)  z の実部と虚部をそれぞれ t を用いて表せ.

(2) 絶対値 |z- i2 | を求めよ.

(3) 実数 t - 1t 1 の範囲を動くとき,点 z はどのような図形を描くか,複素数平面上に図示せよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【6】 正の整数 m n に対して実数 A (m ,n) を次の定積分で定める.

A( m,n) = 0π2 cosm xsinn xdx

(1) 次の等式が成り立つことを示せ.

A( m,n) =A( n,m) A( m+2,n )+A (m,n +2)= A(m ,n)

(2)  A( m,1) を求めよ.

(3) 次の等式が成り立つことを示せ.

A( m,n+2 )= n+1 m+1 A (m+2 ,n)

(4)  m または n が奇数ならば, A( m,n ) は有理数であることを示せ.

文系・理系の学部・学科別

文系 文学部・教育学部・法学部・経済(文系)学部・医学部(保健学科看護学専攻)

理系 経済(理系)・理学部・医学部(医学科,保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)・歯学部・薬学部・工学部・農学部

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