2020　秋田大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$1$個のさいころを$6$回続けて投げる．$6$回目に初めて$6$の目が出る確率を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅱ)　$n$が整数のとき，$n^2$を$4$で割ったときの余りを求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$を，$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=3a_n+2n-4$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定める．数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【２】　循環小数を以下のように表す．

$0.333\cdots =0.\stackrel{\cdot }{3}$$1.432432432\cdots =1.\stackrel{\cdot }{4}3\stackrel{\cdot }{2}$

　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　十進法の$0.\stackrel{\cdot }{1}$を十進法の分数で表しなさい．

(ⅱ)　十進法の$0.\stackrel{\cdot }{1}\stackrel{\cdot }{7}$を十進法の分数で表しなさい．

(ⅳ)　十進法の$5.\stackrel{\cdot }{3}$を三進法の小数で表しなさい．

(ⅳ)　十進法の$0.8$を二進法の小数で表しなさい．

【３】　座標平面上において，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　点$(8,6)$を中心とし，円$x^2+y^2=49$に外接する円の方程式を求めなさい．

(ⅱ)　$k$を実数とし，$2$つの円$x^2+y^2-4x+4ky+4k^2-5=0\text{，}$$x^2+y^2=49$が共有点をもたないとき，定数$k$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(ⅲ)　$2$つの円$x^2+y^2=49\text{，}$$x^2+y^2-18x+6y+65=0$の交点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と，円$x^2+y^2=49$上の点$\mathrm{P}$がつくる三角形を$\mathrm{▵ABP}$とする．$\mathrm{▵ABP}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【４】　$p\text{，}$$q$を実数とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$3$点$\mathrm{A}$$(1,p)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(q,-2)$をとる．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$p=-3\text{，}$$q=5$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$k\text{，}$$I$は実数）の形で表しなさい．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が垂直であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が平行であるとき，$p\text{，}$$q$の値を求めなさい．

(ⅲ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{5}\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$が成り立ち，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角が$30\mathrm{°}$であるとき，$p\text{，}$$q$の値を求めなさい．

【５】　$0<x<\pi$とする．関数$f(x)=\sin x\cos (\pi -x)\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{\cos (\pi -x)}{\sin x}}$について，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$g(x)\geqq f(x)$を満たす$x$の値の範囲を求めなさい．

(ⅱ)　$f(x)$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(ⅲ)　定数$\alpha$は$0<\alpha <\pi$を満たすとする．$0<x<\pi$におけるすべての$x$に対して，$g(x)=\tan (x-\alpha )$が成り立つように$\alpha$の値を定めなさい．

(ⅳ)　定数$\beta$は実数とする．$x$に関する方程式$f(x)=\beta g(x)$が異なる$3$つの解をもつような$\beta$の値の範囲を求めなさい．

【６】　次の問いに答えなさい．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(ⅰ)　$a$を実数とする．関数$f(x)=\log (x+1)-a$に対して，${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=a$を満たす$a$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$x>-1$におけるすべての$x$に対して，関数$g(x)$は連続で，$g(x)=\log (x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}{\displaystyle {\int }_0^1}g(t)\mathit{dt}$を満たすとする．$g(0)$の値を求めなさい．

(ⅲ)　$x>-1$におけるすべての$x$に対して，関数$h(x)$は連続で，$h(x)=\log (x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}{\displaystyle {\int }_0^x}h(t)\mathit{dt}$を満たすとする．

$\text{①}$　導関数$h^{\prime }(x)$を求めなさい．

$\text{②}$　$h(x)$を求めなさい．

【７】　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　 $1$個のさいころを$3$回続けて投げ，出た目の数を順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3$とする．$x_1+x_2+x_3$が$2$で割り切れるとき，$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3$のうち少なくとも$1$つが奇数である確率を求めなさい．

(ⅱ)　$1$個のさいころを$3$回続けて投げ，出た目の数を順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3$とする．積$x_1{x}_2{x}_3$が$4$で割り切れる確率を求めなさい．

(ⅲ)　$1$個のさいころを$7$回続けて投げ，出た目の数を順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4\text{，}$$x_5\text{，}$$x_6\text{，}$$x_7$とする．${x_1}^{2(x_2+x_3+x_4)}$が積$x_5{x}_6{x}_7$で割り切れる確率を求めなさい．

【８】　$n$を$n\geqq 2$を満たす自然数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に異なる$2n$個の点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{2n-1}\text{，}$${\mathrm{P}}_{2n}$を以下を満たすようにとる．

$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{2k-1}=1$$\text{（}1\leqq k\leqq n\text{），}$

$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{2k}=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$$\text{（}1\leqq k\leqq n\text{），}$

$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_i\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{i+1}={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$$\text{（}1\leqq i\leqq 2n-1\text{），}$$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_{2n}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$

線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{．}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{2n-1}{\mathrm{P}}_{2n}\text{，}$${\mathrm{P}}_{2n}{\mathrm{P}}_1$を辺とする$2n$角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\cdots {\mathrm{P}}_{2u-1}{\mathrm{P}}_{2n}$の周の長さを$L_n\text{，}$面積を$S_n$とする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$L_2\text{，}$$S_2$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\pi$を示しなさい．

(ⅲ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$を求めなさい．

【９】　三進法の循環小数を以下のように表す．

${\mathrm{0.002002002\cdots }}_{(3)}={0.\stackrel{\cdot }{0}0\stackrel{\cdot }{2}}_{(3)}$

次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　十進法の${\displaystyle \frac{20}{27}}$を三進法の小数で表しなさい．

(ⅱ)　$m\text{，}$$n$を正の整数とする．十進法の${\displaystyle \frac{n}{m}}$が三進法の小数で${0.\stackrel{\cdot }{0}11\stackrel{\cdot }{0}}_{(3)}$と表されるように，$m\text{，}$$n$を$1$組定めなさい．

(ⅲ)　$n$を$n\geqq 1$を満たす整数とする．十進法の${\displaystyle \frac{1}{3^n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{3^n}}$を三進法の小数で表したとき，初めて$1$が現れるのは小数第何位か答えなさい．

(ⅳ) 十進法の${\displaystyle \frac{3^{2020}}{7}}$を三進法の小数で表したとき，三進法で表された小数の小数部分を答えなさい．

志望別問題選択一覧

国際資源学部　【１】，【４】，【５】，【６】

教育文化（理数教育コース除く）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

教育文化（理数教育コース）学部　【１】，【４】，【５】，【６】

医学部 　【６】，【７】，【８】，【９】

理工学部　【１】，【４】，【５】，【６】