2020　山形大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の点$\mathrm{P}$は，原点$(0,0)$から出発し，$1$枚の硬貨を投げて表が出れば$x$軸の正の方向に$1$だけ進み，裏が出れば$y$軸の正の方向に$1$だけ進む．このとき，次の問に答えよ．

(1)　硬貨を$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(3,0)$にある確率を求めよ．

(2)　硬貨を$10$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(7,3)$にある確率を求めよ．

(3)　硬貨を$10$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(3,1)$を通って，点$(5,5)$にある確率を求めよ．

(4)　硬貨を$10$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(3,3)$を通らずに，点$(6,4)$にある確率を求めよ．

(5)　点$\mathrm{P}$が点$(2,2)$に到達したら点$\mathrm{P}$は原点に戻るものとして，次の問に答えよ．

(ⅰ)　硬貨を$10$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$6$以上となる確率を求めよ．

(ⅱ)　硬貨を$10$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,5)$にあったという条件のもとで，点$\mathrm{P}$が点$(3,4)$を通っていた条件付き確率を求めよ．

【２】　点$\mathrm{R}$$(0,5)$を中心とする円$x^2+{(y-5)}^2=9$を$C\text{，}$放物線$y=a{x}^2$を$D$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　円$C$上の点$(2\sqrt{2},6)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$a=2$とし，放物線$D$上の点$\mathrm{P}$における$D$の接線を$l$とする．ただし，点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるとする．放物線$D$と直線$l\text{，}$および$y$軸とで囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{4}{9}}$であるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　円$C$と放物線$D$が共有点をちょうど$2$個もつとき，$a$の値を求めよ．

(4)　円$C$と放物線$D$が異なる$4$個の共有点をもつとし，$\mathrm{P}$$(s,t)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(-s,t)$をそのうちの$2$点とする．また，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は$\mathrm{\angle PRQ}=90°\text{，}$$s>0\text{，}$$t<5$を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$s\text{，}$$t\text{，}$および$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　円$C$の$y\leqq t$の部分と放物線$D$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　平面上の$\mathrm{▵ABC}$とその内部の点$\mathrm{P}$が，

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|=1$

を満たすとする．また，$k=|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$k^2$を内積$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$k$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{PA}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表せ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を$k$を用いて表せ．

【４】　第$3$項が$5\text{，}$第$7$項が$13$である等差数列を$\{a_n\}$とし，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，

$b_1=19\text{，}$$b_{n+1}=b_n-2^{n-1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められた数列を$\{b_n\}$とし，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項と$S_n$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項と$T_n$を求めよ．

(3)　$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k$を求めよ．

(4)　$V_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}|a_k{b}_k|$を求めよ，

【５】　$2$つの関数$f(x)={\cos }^{2}x\text{，}$$g(x)=1-\sin x$について，次の問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，方程式$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，方程式$f^{\prime }(r)=g^{\prime }(x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\sin }^{2}x\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲において，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とする．

(ⅰ)　図形$D$の面積を求めよ．

(ⅰ)　$0<t<\pi$とする．図形$D$の，直線$x=t$と直線$x=t+\pi$の間にはさまれた部分の面積を$S(t)$とするとき，関数$h(t)=S(t)-{\displaystyle \frac{t}{2}}$の極値をすべて求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

【６】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，楕円$x^2+4y^2=1$を$C_1$とし，放物線$x^2=2y$を$C_2$とする．点$\mathrm{P}$$(s,{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2)$を放物線$C_2$上を動く点とし，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$l_1$は楕円$C_1$と異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わるとする．ただし，$s>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$s$の値の範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{D}$の座標を$s$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線を$l_2$とし，直線$l_2$と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{E}$の座標を$s$を用いて表せ．

(4)　直線$l_1$と$y$軸の交点を$\mathrm{F}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{E}$と対称な点を${\mathrm{E}}^{\prime }$とする．このとき，直線$\mathrm{F}{\mathrm{E}}^{\prime }$の傾き$k$の最小値およびそのときの$s$の値を求めよ．

(5)　点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を点$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{▵PFG}$の面積を$S_1$とし，$\mathrm{▵PDE}$の面積を$S_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の最大値およびそのときの$s$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(5,8)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,7)$を通る円の半径を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t,t+1)$と$\overrightarrow{b}=(1,1)$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であるとき，$t$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$2$次方程式$4x^2+6mx+17=0$が有理数の解をもつような自然数$m$の値をすべて求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{a_n}}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq a_n<1$を示せ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{．}$$\cdots$に対して，$a_n={\cos }^2{\theta }_n$$(0\leqq {\theta }_n\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．

(ⅰ)　${\theta }_1$の値を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{{\theta }_n\}$が漸化式${\theta }_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\theta }_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たすことを示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　関数$f(x)=a{x}^2+bx$に対して，$y=f(x)$のグラフは$2$点$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},t)$を通る．次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$t$は定数である．

(1)　$a\text{，}$$b$を$t$の式で表せ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$が$0<x<1$の範囲で極値をもたないための必要十分条件は，${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$であることを示せ．

(4)　$t={\displaystyle \frac{1}{4}}$と$t={\displaystyle \frac{3}{4}}$のときの放物線$y=f(x)$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\sin ({\mathrm{loe}}_e{\displaystyle \frac{1}{x}})$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$がある．数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$a_n=e^{-(n-1)\pi }\text{，}$$b_n={\displaystyle {\int }_{a_{n+1}}^{a_n}}|f(x)|\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$f(a_n)=0$を示せ．

(2)　数列$\{s_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を

$s_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}{e}^{-t}\sin t\mathit{dt}\text{．}$$c_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}{e}^{-t}\cos t\mathit{dt}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(ⅰ)　$b_n={(-1)}^{n-1}{s}_n$を示せ．

(ⅱ)　$s_n+c_n={(-1)}^{n-1}{e}^{-n\pi }(1+e^{\pi })$および$s_n=c_n$を示せ．

(ⅲ)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-n\pi }(1+e^{\pi })$を示せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n$の値を求めよ．