2020　茨城大学　後期MathJax

【１】　関数$f(x)=\log \sqrt{x^2+4}$について，以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

【２】　$f(x)=(\sqrt{2}+1)\sqrt{\left|x\right|}\text{，}$$g(x)=\left|x\right|+\sqrt{2}$とする．$2$つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と$C_2\text{：}y=g(x)$により囲まれた部分を$D$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

【３】　助さんと格さんのいずれか一方が，黄門様の使者として江戸に出向くことになった．そのために，次の方法で使者を決める．はじめに，助さんと格さんは共に$2$ポイントずつ持っている．助さんと格さんが剣道の試合を繰り返し行い，試合をするたびに，その結果に応じてポイントが次のように移動する．

【４】　$n$を$4$以上の自然数とする．関数$f_n(x)=(1-x)e^{nx}-1$について，以下の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(1)　$i$を虚数単位とする．複素数$z=2(\sqrt{3}+i)$に対して，絶対値は$\left|z\right|=\boxed{\text{(あ)}}$であり，偏角は$\arg z=\boxed{\text{(い)}}$である．ただし，$0\leqq \arg z<2\pi$とする．さらに，$z^3$を計算すると，$z^3=\boxed{\text{(う)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(2)　以下の極限を求めよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+3x-4}{x^3-2x+1}}=\boxed{\text{(え)}}$

(ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{x+3}{x+2}}\right)}^{x+4}=\boxed{\text{(お)}}$

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+x+1}}$の$x=0$における微分係数は$f^{\prime }(0)=\boxed{\text{(か)}}$で，関数$g(x)=(x+1)e^{2x}$の$x=0$における微分係数は$g^{\prime }(0)=\boxed{\text{(き)}}$である．また，関数$h(x)$を$h(x)=f(2x)+g(2x)$で定めると，曲線$y=h(x)$上の点$(0,h(0))$における接線の方程式は$y=\boxed{\text{(く)}}$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(4)　関数$f(x)=2x^3$と微分可能な関数$g(x)$の合成関数$g(f(x))$について，導関数が${\{g(f(x))\}}^{\prime }=6x^3$を満たすとき，$g(x)=\boxed{\text{(け)}}$である．ただし，$g(0)=0$とする．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(5)　関数$f(x)=\sqrt{x}-ax$が極大値$2$をもつとき，定数$a$の値は$a=\boxed{\text{(こ)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(6)　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$2$点$\mathrm{A}$$(1,2,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,3,0)$がある．ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$は，実数$t$が$t=\boxed{\text{(さ)}}$のとき最小となり，最小値は$\boxed{\text{(し)}}$である．また，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{(す)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(7)　実数$x$についての不等式$\left|\right|x|-1|<2$の解は$\boxed{\text{(せ)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(8)　$3$進法で${1220}_{(3)}$と表される数を$2$進法で表すと$\boxed{\text{(そ)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(9)　$\cos {\displaystyle \frac{1}{12}}\pi$の値は$\boxed{\text{(た)}}$であり，$\tan {\displaystyle \frac{19}{12}}\pi$の値は$\boxed{\text{(ち)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(10)　大中小$3$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の最小値が$2$であり，かつ最大値が$6$である確率は$\boxed{\text{(つ)}}$である．ただし，各さいころの$1$から$6$までの目の出方は，同様に確からしいとする．

【２】　座標空間の$2$点$\mathrm{A}$$(4,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-4,2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$z$軸のまわりに$1$回転してできる曲面と，$2$平面$z=0\text{，}$$z=2$とで囲まれた立体を考える．このとき，以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．