2020　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}=x(x-a)(x-b)$

このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が相異なる$2$つの実数解をもつことを証明せよ．

(3)　$g(x)=x(x-a)(x-b)$とおく．関数$g(x)$が$x=-1$で極大値$1$をとるように$a$と$b$を定めよ．ただし，$a\leqq b$とする．

$a_n={\displaystyle {\int }_{n\pi }^{(n+2)\pi }}x\sin x\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．また

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}$$T_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$

とおく．以下の各問に答えよ．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　数列$\{S_n\}$の収束，発散を調べ，収束するときはその極限値を求めよ．

(3)　$T_n$を求めよ．

(4)　数列$\{T_n\}$の収束，発散を調べ，収束するときはその極限値を求めよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸との交点の$x$座標$a_0$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　$a_0$を(1)で求めた実数とする．$a\ne a_0$のとき，$\mathrm{▵PAB}$の面積$S(a)$を求めよ．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とするとき，$\mathrm{▵PAQ}$の面積$T(a)$を求めよ．

(4)　(1)と(3)で求めた$a_0\text{，}$$S(a)\text{，}$$T(a)$に関する極限$\underset{a\to a_0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{T(a)}}$を求めよ．