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2020 筑波大学 前期

数学II分野

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上の 3 A (0,1 ) B (-1,0 ) C (1,0 ) を頂点とする ▵ABC の内接円を T とする.点 D (0,- 1) を通り,傾きが正である直線を ly =ax-1 とする.

(1) 円 T の半径を r とする. r を求めよ.

(2) 直線 l と円 x2+ y2=1 の交点のうち, D と異なる点を E とする.点 E の座標を a を用いて表せ.

(3) 直線 l が円 T に接するとする.このとき,(2)で求めた点 E を通り, x 軸と平行な直線が,円 T に接することを示せ.

2020 筑波大学 前期

数学II分野

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面において,円 x2+ y2=1 x0 かつ y0 を満たす部分を C1 とする.また,直線 y=x x0 を満たす部分を C2 とする. C1 上の点 A C2 上の点 B および点 P (-1,0 ) について, ∠APB=π 2 であるとする.点 A の座標を (cos θ,sinθ ) とする.ただし 0θ π2 とする.

(1) 点 B x 座標を θ を用いて表せ.

(2) 線分 AB の中点の x 座標が 0 以上であるような θ の範囲を求めよ.

2020 筑波大学 前期

数学B分野

易□ 並□ 難□

【3】  O を原点とする xy 平面上に 2 直線

ly=3 x my=- 13 x

がある.正の整数 n に対して, l 上に点 Pn (n,3 n) をとり, m 上に点 Qn (xn,- 13 xn ) をとる.ただし, xn n= 1 2 3 は次の条件(Ⅰ),(Ⅱ)を満たすとする.

(Ⅰ)  x1=1 である.

(Ⅱ)  n2 のとき, xn は, Qn-1 を通り l と平行な直線と, x 軸との交点の x 座標である.

また,正の整数 n に対して, O Pn Qn の面積を an とする.

(1)  xn n を用いて表せ.

(2)  an n を用いて表せ.

(3) 正の整数 n に対して, Sn= k=1 nak と定める. Sn n を用いて表せ.

2020 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【4】  関数 f( θ) g(θ )

f(θ )=sinθ -22 g(θ )=sin2 θ

と定める. xy 平面上の曲線 C が,媒介変数 θ を用いて

x=f( θ) y=g( θ) (0θ π4 )

で表されている.

(1) 次の定積分 I1 I2 I3 の値を求めよ.

I1= 0π4 cos2 θ I2= 0π4 sinθ cos2θ I3= 0π4 sin2 θcos2 θ

(2)  dy dx θ の関数として表し,曲線 C の概形を xy 平面上に描け.

(3) 曲線 C x 軸および y 軸で囲まれた図形を, y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.

2020 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【5】 数列 {a n}

a1= c1+c an+1 =12 -an n= 12 3

を満たすとする.ただし, c は正の実数である.

(1)  a2 a3 を求めよ.

(2) 数列 {a n} の一般項 an を求めよ.

(3)  n =1 ( an+1 an-1 ) を求めよ.

2020 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【6】  i は虚数単位とする.複素数 z に対して,その共役複素数を z で表す.複素数平面上で,次の等式を満たす点 z の全体が表す図形を C とする.

zz +(1+3 i)z +(1-3 i) z+9= 0

以下の問いに答えよ.

(1) 図形 C を複素数平面上に描け.

(2) 複素数 w に対して, α=w+w -1 β=w+w +1 とする. w α β が表す複素数平面上の点をそれぞれ P A B とする.点 P C 上を動くとする. ▵PAB の面積が最大となる複素数 w およびそのときの ▵PAB の外接円の中心と半径を求めよ.

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

 社会学類 【1】【2】【3】から1題選択

 国際総合学類 数学II・B選択者 【1】【2】【3】から2題選択

 国際総合学類 数学III選択者 【4】【5】【6】から2題選択

人間学群

 教育学類,心理学類  【1】【2】【3】必須,【4】【5】【6】から1題選択

 障害科学類

  数学II・数学B選択者 【1】【2】【3】から2題選択

  数学III選択者 【4】【5】【6】から2題選択

生命環境学群

 生物学類,生物資源学類,地球学類 【1】【2】【3】から2題選択,【4】【5】【6】必須

理工学群

   【1】【2】【3】から2題選択,【4】【5】【6】必須

情報学群

 情報科学類,情報メディア創成学類 【1】【2】【3】から2題選択,【4】【5】【6】必須

 知識情報・図書館学類 【1】【2】【3】【4】【5】【6】から2題選択

医学群(医学類・医療科学類)  【1】【2】【3】必須,【4】【5】【6】から2題選択

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