2020　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

【１】　$xy$平面上の曲線$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$を以下で定める．

$C_1\text{：}y=\sin x+\cos x$

$C_2\text{：}y=\cos x$

$C_3\text{：}y=-\cos x$

ただし，$0\leqq x\leqq \pi$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1\text{，}$$C_2$の概形を図示せよ．

(2)　$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$\alpha$とおく．このとき，$\sin 2\alpha \text{，}$$\cos 2\alpha$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$によって囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積が$({\displaystyle \frac{1}{2}}\alpha +{\displaystyle \frac{3}{2}})\pi$となることを示せ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$f(x)=a{x}^2+bx+c$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(1)=4\text{，}$$f(0)=2\text{，}$$f(-1)=-2$のとき，$f(x)$を求め，すべての整数$n$に対して$f(n)$が偶数になることを示せ．

(2)　$f(1)\text{，}$$f(0)\text{，}$$f(-1)$がすべて偶数であれば，すべての整数$n$に対して$f(n)$が偶数になることを示せ．

【３】　鋭角三角形$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{\angle BAC}=\alpha \text{，}$$\mathrm{BC}=a$とおく．また，直線$\mathrm{BC}$に関して$\mathrm{A}$と反対側に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{\angle BPC}=\theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵ABC}$の外接円上にあるとき，$\theta$を$\alpha$で表せ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たして$\mathrm{P}$が動くときの $\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

(3)　$\theta >\pi -\alpha$ならば$\mathrm{P}$は$\mathrm{▵ABC}$の外接円の内側にあることを示せ．

(4)　$a=4\text{，}$$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$とする．$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi -\alpha$を満たすとき，$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．