2020　筑波大学　推薦医学群医学類MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

問１　次の極限値を求めなさい．

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x\sin x}{1-\cos x}}$

【１】　次の問に答えなさい．

問２　次の不定積分を求めなさい．

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x+1}}}\mathit{dx}$

【１】　次の問に答えなさい．

問３　定義域$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$2$つの曲線$y=\sin 2x$と$y=\sin x$に囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

【２】　関係式

$6^{x+y}=2^{2x-1}{3}^{y-5}$(＊)

について，次の問に答えなさい．

問１　関係式(＊)を$y$について解いて$y=f(x)$の形で表しなさい．

問２　${\log }_{2}3$が無理数であることを証明しなさい．

問３　関係式(＊)を満たす有理数$x\text{，}$$y$をすべて求めなさい．

【３】　平面上に焦点$\mathrm{F}$を$(-1,1)\text{，}$準線$d$を$y=-1$とする放物線$C$と，この放物線$C$上を動く点$\mathrm{P}$$(a,b)$がある．ただし$a\ne -1$とする．このとき，次の問に答えなさい．

問１　放物線$C$の方程式を求めなさい．

問２　放物線$C$上の点$\mathrm{P}$から準線$d$へおろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{FH}$の垂直二等分線$t_1$は放物線上の点$\mathrm{P}$における接線になることを示しなさい．

問３　直線$\mathrm{FH}$の法線の中で焦点$\mathrm{F}$を通る直線と準線$d$との交点を$\mathrm{K}$とし，線分$\mathrm{FK}$の垂直二等分線を$t_2$とする．このとき，三角形$\mathrm{FHK}$の特徴に注目して，直線$t_1$と$t_2$との交点$\mathrm{Q}$は常に準線上の点となることを示しなさい．