2020　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　$n$を$9$以上の自然数とする．袋の中に$n$個の球が入っている．このうち$6$個は赤球で残りは白球である．この袋から$6$個の球を同時に取り出すとき，$3$個が赤球である確率を$P_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$P_9\text{，}$$P_{10}\text{，}$$P_{15}$を求めよ．

問２　${\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_n}}$を$n$の式で表せ．

問３　$P_n$が最大となる$n$を求めよ．

(編注）2013年　大分大前期経済，教育福祉，工学部【４】を改変して活用

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}\text{，}$角$\mathrm{AOB}$の二等分線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とし，直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{OD}$との交点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AE}$との交点を$\mathrm{F}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$辺$\mathrm{OA}$の長さを$\alpha \text{，}$辺$\mathrm{OB}$の長さを$\beta$とする．実数$x\text{，}$$y$に対して点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$と定めるとき，次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{BC}$上にあるとき，$y$を$x$を用いて表せ．

問２　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{OD}$上にあるとき，$y$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$x$を用いて表せ．

問３　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問４　比$\mathrm{OF}:\mathrm{FB}$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

問５　角$\mathrm{AEB}$が直角で，$\alpha =1\text{，}$$\beta =2$であるとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{(n+3)a_n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_2$および$a_3$の値を求めよ．

問２　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，$b_{100}-b_{99}$の値を求めよ．

問３　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

問４　${\displaystyle \sum _{n=1}^{99}}{a}_n$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=-x^2+(a+2)x-a-1$について，次の問いに答えよ．ただし，$a\geqq 0$は定数とする．

問１　方程式$f(x)=0$を解け．

問２　$a\geqq 1$とする．関数$g(a)={\displaystyle {\int }_1^2}|f(x)|\mathit{dx}$を$a$の式で表せ．

問３　$0\leqq a\leqq 1$とする．関数$g(a)={\displaystyle {\int }_1^2}|f(x)|\mathit{dx}$を$a$の式で表せ．

問４　$0\leqq a\leqq 1$とする．関数$g(a)={\displaystyle {\int }_1^2}|f(x)|\mathit{dx}$の最小値を求めよ．

【５】　複素数平面上で$\left|{\displaystyle \frac{z+1+i}{z+2}}\right|=\sqrt{2}$を満たす点$z$全体が表す図形を$C_1$とし，点$z$が$C_1$を動くとき$w=-{\displaystyle \frac{3}{z}}$で表される点$w$が描く図形を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

問１　図形$C_1$を求めよ．

問２　図形$C_2$を求めよ．

問３　$2$つの定点$\mathrm{A}(4i)\text{，}$$\mathrm{B}(-2i)\text{，}$および$C_1$上の点$\mathrm{P}(\alpha )\text{，}$$C_2$上の点$\mathrm{Q}(\beta )$の$4$点を頂点とする四角形$\mathrm{APBQ}$の面積を$S$とする．$S$が最大になるように$\alpha$と$\beta$の値を定めよ．

問４　問３の$S$の最大値を求めよ．

【６】　座標平面上の$2$つの曲線$C_1\text{：}y=\log {\displaystyle \frac{x}{a}}\text{，}$$C_2\text{：}y=2-\log {\displaystyle \frac{x}{a}}$と$2$つの直線$x=e\text{，}$$y=e^2$で囲まれる部分を$D$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とし，$a$は$1\leqq a\leqq e$を満たす実数とする．

問１　曲線$C_1$および$C_2$が$x$軸と交わる点の座標をそれぞれ$(p,0)\text{，}$$(q,0)$とする．$p$と$q$を$a$を用いて表せ．

問２　$1<a<e$のとき，座標平面上に$D$を図示せよ．

問３　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．

問４　$V(a)$を最小にする$a$の値と，そのときの$V(a)$の値を求めよ．

志望別問題選択一覧

地域デザイン科（コミュニティデザイン学科）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

地域デザイン科（建築都市デザイン，社会基盤デザイン学科）学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

工学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

農（生物資源科，農業環境工，農業経済，森林科学科）学部　【１】，【２】，【３】，【４】，【５】