2020　群馬大学　前期MathJax

【１】　$p\text{，}$$q$を実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+p{x}^2+qx+1=0$が虚数解$\alpha$と${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$をもつとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p=q$が成り立つことを示せ．

(2)　定数$p$の値の範囲を求めよ．

(3)　$\alpha$の実部$s\text{，}$虚部$t$について$s+2t=-1$が成り立つときの$p$の値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は次の条件によって定められている．

すべての自然数$n$に対して$a_n\text{，}$$b_n$はともに整数で，${(3+2\sqrt{2})}^n=a_n+\sqrt{2}{b}_n$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$それぞれを，$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(3)　$n$を自然数とするとき，${(3-2\sqrt{2})}^n=a_n-\sqrt{2}{b}_n$を示せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$は次の$2$条件を満たすとする．

1.　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$

2.　$\mathrm{\angle AOB}=\angle AOC=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=60\mathrm{°}$

辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}$とおき，線分$\mathrm{AM}$と線分$\mathrm{BN}$との交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{BN}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{OP}\perp \mathrm{BN}$のとき，$t$の値を求めよ．

【４】　$\mathrm{OB}=10\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=90\mathrm{°}$を満たす三角形$\mathrm{OAB}$を考える．このとき${\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle ABO}}{{\mathrm{AB}}^2}}$を最大にする$\mathrm{OA}$の長さを求めよ．またそのときの${\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle ABO}}{{\mathrm{AB}}^2}}$の値を求めよ．

【５】　$a$を正の定数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)$$=\{x^2-(a+1)x+2a-1\}{e}^{-x}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$が$x\geqq 0$において最小値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．ただし，$x>0$のとき不等式$e^x>{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$が成り立つことを用いてよいとする．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　$p\text{，}$$q$を実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+p{x}^2+qx+1=0$が虚数解$\alpha$と${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$をもつとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p=q$が成り立つことを示せ．

(2)　定数$p$の値の範囲を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$2x^3-7x^2-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とするとき，$2n^3-7n^2$を最小にする$a$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は次の条件によって定められている．

すべての自然数$n$に対して$a_n\text{，}$$b_n$はともに整数で，${(3+2\sqrt{2})}^n=a_n+\sqrt{2}{b}_n$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$それぞれを，$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(3)　$n$を自然数とするとき，${(3-2\sqrt{2})}^n=a_n-\sqrt{2}{b}_n$を示せ．

【４】　座標平面上の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(a,b)\text{，}$$\mathrm{B}$$(8,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(7,-2)$を頂点とする四角形$\mathrm{OABC}$において，点$\mathrm{A}$は第$1$象限にあり，$\mathrm{▵OAB}$は正三角形であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は次の条件によって定められている．

すべての自然数$n$に対して$a_n\text{，}$$b_n$はともに整数で，${(3+2\sqrt{2})}^n=a_n+\sqrt{2}{b}_n$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について${a_n}^2-2{b_n}^2=1$が成り立つことを証明せよ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を，それぞれ求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$は次の$2$条件を満たすとする．

1.　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$

2.　$\mathrm{\angle AOB}=\angle AOC=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=60\mathrm{°}$

辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}$とおき，線分$\mathrm{AM}$と線分$\mathrm{BN}$との交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OP}$の長さを最小にする$t$の値を求めよ．

【４】　$a$を正の定数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)$$=\{x^2-(a+1)x+2a-1\}{e}^{-x}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，不等式$e^x>{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$が成り立つことを証明せよ．ただし，$x>0$のとき不等式$e^x>x$がなりたつことを用いてよいとする．

(2)　関数$f(x)$が$x\geqq 0$において最小値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b$は正の定数で$a>b$とする．座標平面上に楕円$C_1\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$と楕円$C_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$がある．直線$l$は楕円$C_1\text{，}$$C_2$のどちらにも第$1$象限で接するものとする．直線$l$の方程式を$y=mx+n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$m$と$n$を求めよ．

(2)　$a=\sqrt{3}\text{，}$$b=1$とする．楕円$C_1$と直線$l$との接点の$x$座標を$d$とおく．このとき$3$つの領域

$y\geqq \sqrt{b^2-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}{x}^2}\text{，}$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq x\leqq d\text{，}$$y\leqq mx+n$

の共通部分の面積を求めよ．