2020　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】　座標平面上に，$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{12}}\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$である$\mathrm{▵ABC}$がある．頂点$\mathrm{C}$は原点にあり，頂点$\mathrm{A}$は$x$軸の正の部分にあり，頂点$\mathrm{B}$は直線$y=3$上にある．この$\mathrm{▵ABC}$を，頂点$\mathrm{C}$を中心として${\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$だけ回転する．ただし，回転の向きは正の向きとする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　頂点$\mathrm{A}$の動いた軌跡の長さを求めなさい．

(2)　辺$\mathrm{AB}$が通過してできる図形の面積を求めなさい．

【２】　$7$個の玉$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}\text{，}$$\mathrm{d}\text{，}$$\mathrm{e}\text{，}$$\mathrm{f}\text{，}$$\mathrm{g}$と$3$個の箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$7$個の玉を$3$個の箱に入れる．どの玉もいずれかの箱に入れるものとする．また，ひとつも玉の入らない箱があってもよいものとする．ただし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の箱にはそれぞれ最大で$2$個，$4$個，$6$個の玉しか入れることができない．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　箱$\mathrm{A}$の中に$2$個の玉が入る入れ方は何通りあるか．

(2)　玉の入れ方は全部で何通りあるか．

(3)　玉$\mathrm{a}$と玉$\mathrm{b}$が同じ箱に入る入れ方は何通りあるか．

【３】　関数$y=f(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$のグラフを$C$とおき，$t$を$0\leqq t\leqq 2$を満たす実数とする．$y$軸上に点${\mathrm{P}}_1$$(0,f(t^2))\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(0,f(2t^2))\text{，}$${\mathrm{P}}_3$$(0,f(4t))$をとり，点${\mathrm{P}}_1$を通り$x$軸に平行な直線を$l_1$とおく．さらに，$C$と$l_1$と線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$で囲まれた図形の面積を$I_1$とおき，$C$と$l_1$と$l_2$と線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$で囲まれた図形の面積を$I_2$とおき，$C$と$l_2$と$l_3$と線分${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$で囲まれた図形の面積を$I_3$とおく．ただし，$\mathrm{O}$は原点とする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$a=t^2$とおく．$I_1\text{，}$$I_2\text{，}$$I_3$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$I_2\leqq I_3$であることを証明しなさい．

(3)　$I_1\leqq I_2$を満たす$t$の範囲を求めなさい．

(4)　$I_2$の最大値を求めなさい．

【４】　$a\text{．}$$c$を正の実数とし，数列$\{a_n\}$を$a_1=a\text{，}$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{c}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．また，$b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$a=3$かつ$c=1$のとき，$a_2$と$a_3$を求めなさい．

(2)　自然数$n$に対して$b_n{b}_{n+1}\geqq 9c$であることを証明しなさい．また，等号が成り立つのは$a$と$c$がどのような関係のときか．

(3)　自然数$n$に対して$b_n+b_{n+1}+b_{n+2}\geqq 4\sqrt{5c}$であることを証明しなさい．また，等号が成り立つのは$a$と$c$がどのような関係のときか，$n$が奇数の場合と偶数の場合に分けて答えなさい．