2020　埼玉大学　前期（理，工学部）MathJax

$\left|\alpha \right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\beta \right|=4\text{，}$$|4\alpha -\beta |=4$

を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$を求めよ．

(2)　複素数平面において，$3$点$0\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を頂点とする三角形の面積を求めよ．

$C\text{：}y=x^2-2\text{，}$$S\text{：}{x}^2+y^2=1$

を考え，放物線$C$上の相異なる$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をとる．ただし，$t>1$として，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$t$であるとする．また，直線$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{PR}$の傾きをそれぞれ$m_1\text{，}$$m_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t\text{，}$$m_1$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{QR}$の方程式を$t\text{，}$$m_1\text{，}$$m_2$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線が円$S$に接する必要十分条件を，$m$に関する$2$次方程式で書き表せ．

(4)　直線$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{PR}$はどちらも円$S$に接しているとする．このとき，直線$\mathrm{QR}$も円$S$に接することを示せ．

(1)　正四面体$\mathrm{ABCD}$の$1$辺の長さを求めよ．

(2)　$0<k<n$を満たす整数$k$をとる．平面$z=k$と辺$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求め，領域

$\{(x,y)|\text{点}(x,y,k)$は正四面体$\mathrm{ABCD}$に含まれる$\}$

を$xy$平面に図示せよ．

(3)　$0<k<n$を満たす整数$k$に対し，正四面体$\mathrm{ABCD}$に含まれる格子点で$z$座標が$k$である点の数を求めよ．ただし，格子点とは$x$座標，$y$座標，$z$座標がすべて整数である点のことをいう．

(4)　正四面体$\mathrm{ABCD}$に含まれる格子点の数を求めよ．

$C_1\text{：}y=\sqrt{t\cos x}\text{，}$$C_2\text{：}y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{t}}\sin x}$

を考える．$C_1\text{，}$$C_2$および$x$軸で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V_1(t)$とおき，$C_1\text{，}$$C_2$および$y$軸で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V_2(t)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$および$\sin \alpha$を$t$を用いて表せ．

(2)　$V_1(t)$と$V_2(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$V_1(t)$と$V_2(t)$が等しいときの$t$の値$t_0$と，$V_1(t_0)$を求めよ．