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2020 千葉大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  A さんは 1 が書かれたカードを 1 枚, 2 が書かれたカードを 2 枚, 4 が書かれたカードを 1 枚,計 4 枚を無作為に横一列に並べて 4 桁の数 X を作る. B さんは 2 が書かれたカードを 2 枚, 3 が書かれたカードを 2 枚,計 4 枚を無作為に横一列に並べて 4 桁の数 Y を作る.

(1)  X 4 の倍数となる確率を求めよ.

(2)  X<Y となる確率を求めよ.

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【2】  k を定数とし, f( x)= x3-k x とおく.曲線 C y=f (x ) 上に原点と異なる点 P (a, f(a )) をとる.点 P を通り曲線 C とちょうど 2 点を共有する 2 つの直線のうち,傾きが大きい方を l 1 小さい方を l2 とする.さらに, C l 1 の共有点のうち P と異なるものを Q1 C l2 の共有点のうち P と異なるものを Q 2 とする. l1 および l 2 の方程式と, Q1 および Q 2 の座標を求めよ.

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【3】 座標平面上に 4 P 0 (2, 0) P1 (0, 2) Q0 (0, 0) Q1 (-1 ,1) がある.正の整数 n に対し,点 P n Qn まで定まったとき,点 P n+1 Qn+ 1 を以下の条件で定める.

四角形 P nP n+1 Qn+1 Qn と四角形 Pn -1P nQn Qn- 1 は相似であり,かつ辺 P nQn のみを共有する.

このとき以下の問いに答えよ.

(1)  P2 Q2 の座標を求めよ.

(2)  P4 P8 の座標を求めよ.

(3) 正の整数 m に対して, P8 m の座標を m の式で表せ.

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【4】  t を実数とし,不等式

(x 2-2 x+y2 ) (x2 -3x +y2 )0 tx t+1

の表す x y 平面上の領域を x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を V (t ) とする. t 1 t2 の範囲を動くとき, V( t) の最大値を求めよ.

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【5】 四面体 ABCD において, AB2+ CD2= BC2+ AD2= AC2+ BD2 ∠ADB=90 ° が成り立っている.三角形 ABC の重心を G とする.

(1)  ∠BDC を求めよ.

(2)  AB 2+CD2 DG の値を求めよ.

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【6】 袋の中に 1 から 5 までの整数が書かれたカードが 1 枚ずつ入っている.その中から 1 枚取り出して戻すという試行を繰り返す. n 回目に取り出したカードに書かれた整数を an とし, Sn= a1+ a2+ +an とする. n 回目に初めて S n 3 の倍数になる確率を p n とする.

(1)  p2 p3 を求めよ.

(2)  n2 のとき, pn を求めよ.

(3)  n4 とする. S1 S2 S3 3 の倍数でなく a 3=5 であったとき, n 回目に初めて Sn 3 の倍数になる条件付き確率 q n を求めよ.

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【7】  a 0 でない定数とする. 2 つの放物線 y= x2 x= 12a y2+ 3 a4 の両方に接する直線がちょうど 3 本となるような a の範囲を求めよ.

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【8】 複素数平面上で複素数 0 3 3+ i を表す点をそれぞれ A 1 B0 B1 とする.正の整数 n に対して,点 A n+1 は線分 A nBn の中点とし,点 B n+1 は直線 A nBn に関して点 B n-1 の反対側にあり,三角形 A n+1 Bn Bn+1 が三角形 A 1B0 B1 と相似になるものとする.点 A n n=1 2 3 が表す複素数を zn とする.

(1) 複素数 z3 を求めよ.

(2) 複素数 z6 を求めよ.

(3) 正の整数 m に対して,複素数 z 6m の実部と虚部をそれぞれ求めよ.

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【4】の類題

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【9】 正の整数 n に対して,

an= k=0n Ck n bn= k=1n Ck n k cn= k=0n Ck n k+1 dn= k=0n Ck n k2

とする.

(1)  an を求めよ.

(2)  bn を求めよ.

(3)  cn を求めよ.

(4)  dn を求めよ.

(5) 極限値 lim n a nbn cn dn を求めよ.

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【10】 有理数 a b に対して, (a+ bi) 2 の実部と虚部が整数ならば a b は整数であることを証明せよ.ただし, i は虚数単位である.

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【11】 定義域を 0 x1 とする関数 f n( x) f (x ) を以下で定める.

f1 (x) =0 fn+1 ( x)= 0x (fn (t )-1 )2 dt n=1 2 3

f(x )= xx +1

(1) 正の整数 n に対して,不等式

0fn (x )1 0x1

が成り立つことを証明せよ.

(2) 正の整数 n に対して,不等式

(- 1)n fn (x) (- 1)n f( x) 0x1

が成り立つことを証明せよ.

(3) 実数 a 0a 1 に対して,極限 lim n fn (a) を求めよ.

志望別問題選択一覧

数学I数学II数学A数学B

 国際教養学部,文学部(行動科学コース),法政経学部,教育学部(小学,中学国語社会理科技術,小中専門教科,英語,特別支援,乳幼児),園芸学部(食料資源経済学科),先進科学プログラム(化学,生物学,植物生命科学,人間科学)

  【1】【2】【3】

数学I数学II数学III数学A数学B

教育学部(中学数学)

 【4】【5】【6】【7】【8】【9】

理学部(物理,化学,生物,地球科学科),工学部,園芸学部(園芸,応用生命化,緑地環境学科),薬学部,先進科学プログラム(物理,工学)

 【4】【5】【6】【7】【8】

理学部(数学・情報数理学科)

【4】【5】【6】【7】【8】【9】【10】

医学部

【6】【7】【8】【10】【11】

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