2020　千葉大学　先進科学プログラム方式IMathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$z=1-i$のとき，${|z-{\displaystyle \frac{1}{z}}|}^2$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　次の不等式を解きなさい．$x^{{\log }_{3}x}<27x^2$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$\tan \theta =3$のとき，$\cos 2\theta \text{，}$$\sin 2\theta \text{，}$$\tan 2\theta$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　次の不定積分を求めなさい．${\displaystyle \int }x\cos x\mathit{dx}$

【２】　次の関数の極値を求めなさい．

(1)　$y=x^2\log x$

(2)　$y={\displaystyle \frac{e^x}{x^3}}$

【３】　空間に$4$点$\mathrm{A}$$(1,2,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,3,-2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,-1,3)\text{，}$$\mathrm{D}$$(3,2,a)$がある．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$における$\mathrm{\angle BAC}$の大きさを求めなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で定める平面上に点$\mathrm{D}$があるとき，$a$の値を求めなさい．

【４】　$\mathrm{A}$は$3$枚の硬貨，$\mathrm{B}$は$4$枚の硬貨をそれぞれ投げ，表の出た硬貨の枚数の多いほうを勝ちとする．このとき，$\mathrm{A}$の勝つ確率を求めなさい．ただし，表の出た硬貨の枚数が同じ場合，またはともに裏しか出ない場合は引き分けとする．

【５】　放物線$y=-x^2+2x$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を，直線$y=ax$が$2$等分するように，$a$の値を定めなさい．

【６】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=2-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めなさい．また，一般項$a_n$を推定しなさい．

(2)　推定した一般項が正しいことを，数学的帰納法を使って証明しなさい．