2020　東京大学　前期MathJax

【１】　$a>0\text{，}$$b>0$とする．座標平面上の曲線

$C\text{：}y=x^3-3a{x}^2+b$

が，以下の$2$条件を満たすとする．

条件$1$：$C$は$x$軸に接する．

条件$2$：$x$軸と$C$で囲まれた領域（境界は含まない）に，$x$座標と$y$座標がともに整数である点がちょうど$1$個ある．

$b$を$a$で表し，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　座標平面上に$8$本の直線

$x=a$$\text{（}a=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{），}$$y=b$$\text{（}b=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$

がある．以下，$16$個の点

$(a,b)$$\text{（}a=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}$$b=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$

から異なる$5$個の点を選ぶことを考える．

(1)　次の条件を満たす$5$個の点の選び方は何通りあるか．

上の$8$本の直線のうち，選んだ点を$1$個も含まないものがちょうど$2$本ある．

(2)　次の条件を満たす$5$個の点の選び方は何通りあるか．

上の$8$本の直線は，いずれも選んだ点を少なくとも$1$個含む．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，放物線

$y=x^2-2x+4$

のうち$x\geqq 0$を満たす部分を$C$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{O}$を端点とする半直線$\mathrm{OP}$が通過する領域を図示せよ．

(2)　実数$a$に対して，直線

$l\text{：}y=ax$

を考える．次の条件を満たす$a$の範囲を求めよ．

$C$上の点$\mathrm{A}$と$l$上の点$\mathrm{B}$で，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が正三角形の$3$頂点となるものがある．

【４】　$n\text{，}$$k$を，$1\leqq k\leqq n$を満たす整数とする．$n$個の整数

$2^m$$\text{（}m=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

から異なる$k$個を選んでそれらの積をとる．$k$個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる${}_{n}C_k$個の整数の和を$a_{n,k}$とおく．例えば，

$a_{4,3}=2^0\cdot 2^1\cdot 2^2+2^0\cdot 2^1\cdot 2^3+2^0\cdot 2^2\cdot 2^3$$+2^1\cdot 2^2\cdot 2^3=120$

である．

(1)　$2$以上の整数$n$に対し，$a_{n,2}$を求めよ．

(2)　$1$以上の整数$n$に対し，$x$についての整式

$f_n(x)=1+a_{n,1}x+a_{n,2}{x}^2+\cdots +a_{n,n}{x}^n$

を考える．${\displaystyle \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}}$と${\displaystyle \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)}}$を$x$についての整式として表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}}$を$n\text{，}$$k$で表せ．

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$p$を実数とする．不等式

$a{x}^2+bx+c>0$

$b{x}^2+cx+a>0$

$c{x}^2+ax+b>0$

をすべて満たす実数$x$の集合と，$x>p$を満たす実数$x$の集合が一致しているとする．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$はすべて$0$以上であることを示せ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$のうち少なくとも$1$個は$0$であることを示せ．

(3)　$p=0$であることを示せ．

【２】　平面上の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が同一直線上にないとき，それらを$3$頂点とする三角形の面積を$\mathrm{▵PQR}$で表す．また，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が同一直線上にあるときは，$\mathrm{▵PQR}=0$とする．

　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を平面上の$3$点とし，$\mathrm{▵ABC}=1$とする．この平面上の点$\mathrm{X}$が

$2\leqq \mathrm{▵ABX}+\mathrm{▵BCX}+\mathrm{▵CAX}\leqq 3$

を満たしながら動くとき，$\mathrm{X}$の動きうる範囲の面積を求めよ．

【３】　$-1\leqq t\leqq 1$を満たす実数$t$に対して，

$x(t)=(1+t)\sqrt{1+t}$

$y(t)=3(1+t)\sqrt{1-t}$

とする．座標平面上の点$\mathrm{P}$$(x(t),y(t))$を考える．

(1)　$-1<t\leqq 1$における$t$の関数${\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}}$は単調に減少することを示せ．

(2)　原点と$\mathrm{P}$の距離を$f(t)$とする．$-1\leqq t\leqq 1$における$t$の関数$f(t)$の増減を調べ，最大値を求めよ．

(3)　$t$が$-1\leqq t\leqq 1$を動くときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とし，$C$と$x$軸で囲まれた領域を$D$とする．原点を中心として$D$を時計回りに$90\mathrm{°}$回転させるとき，$D$が通過する領域の面積を求めよ．

【５】　座標空間において，$xy$平面上の原点を中心とする半径$1$の円を考える．この円を底面とし，点$(0,0,2)$を頂点とする円錐（内部を含む）を$S$とする．また，点$\mathrm{A}$$(1,0,2)$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}$が$S$の底面を動くとき，線分$\mathrm{AP}$が通過する部分を$T$とする．平面$z=1$による$S$の切り口および，平面$z=1$による$T$の切り口を同一平面上に図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$S$を動くとき，線分$\mathrm{AP}$が通過する部分の体積を求めよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(1)　$A\text{，}$$\alpha$を実数とする．$\theta$の方程式

$A\sin 2\theta -\sin (\theta +\alpha )=0$

を考える．$A>1$のとき，この方程式は$0\leqq \theta <2\pi$の範囲に少なくとも$4$個の解を持つことを示せ．

(2)　座標平面上の楕円

$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+y^2=1$

を考える．また，$0<r<1$を満たす実数$r$に対して，不等式

$2x^2+y^2<r^2$

が表す領域を$D$とする．$D$内のすべての点$\mathrm{P}$が以下の条件を満たすような実数$r$$\text{（}0<r<1\text{）}$が存在することを示せ．また，そのような$r$の最大値を求めよ．

条件：$C$上の点$\mathrm{Q}$で，$\mathrm{Q}$における$C$の接線と直線$\mathrm{PQ}$が直交するようなものが少なくとも$4$個ある．