2020　東京農工大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に$3$点$\mathrm{A}$$(1,5,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,4,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,6.0)$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．次の問いに答えよ．

［1］　中心が直線$\mathrm{OC}$上にあり，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る球面の方程式を求めよ．

［2］　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

［3］　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

［4］　点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

［5］　四面体$\mathrm{OABD}$の体積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\text{，}{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{a_n}{n}}\\ b_1=1\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{n+1}{2n}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{2^{n}n}}\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次の問いに答えよ．

［1］　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

［2］　$c_n={\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

［3］　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

［4］　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とするとき，$S_n$を$n$の式で表せ．

【３】　$b$は実数，$r$は正の実数とする．$xy$平面上に$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=-\cos 2x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$C_2\text{：}{x}^2+{(y-b)}^2=r^2$

がある．$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とするとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$が共有点$\mathrm{P}$$(a,-\cos 2a)$をもち，点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつとする．次の問いに答えよ．

［1］　$b$を$a$の式で表し，$\underset{x\to +0}{\lim }b$の値を求めよ．

［2］　$a={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，曲線$C_1$の$y\leqq -\cos 2a$の部分と，曲線$C_2$の$y\geqq -\cos 2a$の部分で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

［1］　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{e^x+2}}$を求めよ．

［2］　関数$f(x)$は微分可能であり，$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は連続関数であるとする．$t$は正の実数とする．曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq t\text{）}$の長さを$L(t)$とする．$f(x)$が

$f(x)=\{\begin{array}{ll}L(x)-e^x-2x+{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\log 3& \text{（}x>0\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\log 3& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

を満たすとき，$f(\log 2)$の値と$L(\log 2)$の値を求めよ．