2020　東京工業大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$|x^2-x-23|$の値が，$3$を法として$2$に合同である正の整数$x$をすべて求めよ．

(2)　$k$個の連続した正の整数$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_k$に対して，

$|{x_j}^2-x_j-23|$$\text{（}1\leqq j\leqq k\text{）}$

の値がすべて素数になる$k$の最大値と，その$k$に対する連続した正の整数$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_k$をすべて求めよ．ここで$k$個の連続した整数とは，

$x_1\text{，}{x}_1+1\text{，}{x}_1+2\text{，}\cdots \text{，}{x}_1+k-1$

となる列のことである．

【２】　複素数平面上の異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$で表す．ここで$A\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は同一直線上にないと仮定する．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形となる必要十分条件は，

${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

であることを示せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形のとき，$\mathrm{▵ABC}$の外接円上の点$\mathrm{P}$を任意にとる．このとき，

${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$

および

${\mathrm{AP}}^4+{\mathrm{BP}}^4+{\mathrm{CP}}^4$

を外接円の半径$R$を用いて表せ．ただし$2$点$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$に対し，$\mathrm{XY}$とは線分$\mathrm{XY}$の長さを表す．

【３】　座標空間に$5$点

$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0.3,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,4)\text{，}$$\mathrm{P}$$(0,0,-2)$

をとる．さらに$0<a<3\text{，}$$0<b<3$に対して$2$点$\mathrm{Q}$$(a,0,0)$と$\mathrm{R}$$(0,b,0)$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る平面を$H$とする．平面$H$と線分$\mathrm{AC}$の交点$\mathrm{T}$の座標，および平面$H$と線分$\mathrm{BC}$の交点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$が同一円周上にあるための必要十分条件を$a\text{，}$$b$を用いて表し，それを満たす点$(a,b)$の範囲を座標平面上に図示せよ．

【４】　$n$を正の奇数とする．曲線$y=\sin x$$\text{（}(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi \text{）}$と$x$軸で囲まれた部分を$D_n$とする．直線$x+y=0$を$l$とおき，$l$の周りに$D_n$を$1$回転させてできる回転体を$V_n$とする．

(1)　$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$に対して，点$(x,\sin x)$を$\mathrm{P}$とおく．また$\mathrm{P}$から$l$に下ろした垂線と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を$l$の周りに$1$回転させてできる図形の面積を$x$の式で表せ．

(2)　(1)の結果を用いて，回転体$V_n$の体積を$n$の式で表せ．

【５】　$k$を正の整数とし，$a_k={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{k-1}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\right)\mathit{dx}$とおく．

(1)　$a_{k+2}$を$a_k$と$k$を用いて表せ．

(2)　$k$を限りなく大きくするとき，数列$\{k{a}_k\}$の極限値$A$を求めよ．

(3)　(2)の極限値$A$に対し，$k$を限りなく大きくするとき，数列

$\{k^m{a}_k-k^{n}A\}$

が$0$ではない値に収束する整数$m\text{，}$$n$$\text{（}m>n\geqq 1\text{）}$を求めよ．またそのときの極限値$B$を求めよ．

(4)　(2)と(3)の極限値$A\text{，}$$B$に対し，$k$を限りなく大きくするとき，数列

$\{k^p{a}_k-k^{q}A-k^{r}B\}$

が$0$ではない値に収束する整数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$$\text{（}p>q>r\geqq 1\text{）}$を求めよ．またそのときの極限値を求めよ．