2020　お茶の水女子大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，必要があれば，

$0.3010<{\log }_{10}2<0.3011\text{，}$$0.4771<{\log }_{10}3<0.4772$

であることを用いてもよい．

(1)　$3^{53}$の桁数を求めよ．

(2)　$3^{53}$の最高位の数と$1$の位の数をそれぞれ求めよ．

(3)　$|3^{53}-2^m|$が最小となる整数$m$を求めよ．

【２】　$r$を正の実数とし，座標平面において原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を考える，円の外側の点$\mathrm{P}$$(p_1,p_2)$から円に引いた$2$本の接線のそれぞれの接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を結ぶ直線を$l$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．

(2)　直線$l$を表す方程式を求めよ．

(3)　円の外側の点$\mathrm{Q}$$(q_1,q_2)$が$l$上にあるとする．$\mathrm{Q}$から円に引いた$2$本の接線のそれぞれの接点を$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線上にあることを示せ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$は自然数とする．

(ⅰ)　実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$に対して

$|\sin (x_1+x_2+\cdots +x_n)|$$\leqq |\sin x_1|$$+|\sin x_2|$$+\cdots$$+|\sin x_n|$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$n$が奇数であり，実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=0$をみたすとき

$|\cos x_1|+|\cos x_2|+\cdots +|\cos x_n|\geqq 1$

が成り立つことを示せ．

(2)　関数$y=\cos x+{\displaystyle \frac{\cos 2x}{2}}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をすべて求めよ．

【３】　$f(x)=e^{3x}-2e^x+2$とする．

(1)　すべての実数$x$に対し$f(x)>0$であることを示せ．

(2)　$g(x)=\log (f(x))$とおく．関数$g(x)$の極値を求めよ．

(3)　$k$を実数の定数とする．(2)の$g(x)$に対し，方程式$g(x)-k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．