2020　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

(1)　$n\geqq 3$のとき，不等式$2^{n-1}>n$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(2)　自然数の組$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$が

$a_1+a_2+\cdots +a_n=a_1{a}_2\cdots a_n$

を満たしている．ただし，$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$とする．このとき，$n\geqq 4$ならば$a_1=a_2=1$であることを示せ．

(3)　次を満たす自然数の組$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$をすべて求めよ．ただし，$a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq a_4\leqq a_5$とする．

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$

(1)　正弦，余弦の加法定理を用いることにより，次を示せ．ただし，$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$a+b<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

$\tan (a+b)={\displaystyle \frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}$

(2)　$y=\tan x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の逆関数を$y=g(x)$とするとき，$g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+g\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$f(t)=t-\tan t+{\displaystyle \frac{{\tan }^{3}t}{3}}$$(0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．$f^{\prime }(t)$を計算し，$0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときに$f(t)\geqq 0$が成り立つことを示せ．

(4)　以上をもとに，$\pi >3.11$を示せ．

(1)　$0<t<1$となる$t$を固定する．線分$\mathrm{PQ}$を動かすとき$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点の軌跡の方程式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$が通る座標平面上の領域の境界を表す方程式を求めよ．

(3)　(2)の領域の境界の長さを求めよ．