2020　お茶の水女子大学　後期MathJax

【１】　すべての自然数$n$に対して$a_{n+p}=a_n$を満たすような自然数$p$があるとき，数列$\{a_n\}$は周期的であるといい，このような$p$のうち最小のものを$\{a_n\}$の周期という．

　実数$q$に対し，次の条件を満たす数列$\{a_n\}$を考える．

$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}q& \text{（}{a}_n=0\text{のとき）}\\ q-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}& \text{（}{a}_n\ne 0\text{のとき）}\end{array}$

　以下の問いに答えよ．

(1)　$q=\sqrt{3}$のとき，数列$\{a_n\}$は周期的であることを示し，その周期を求めよ．

(2)　$x^2-qx+1=0$が$2$つの実数解をもつとし，それらの解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}0<\left|\alpha \right|<\left|\beta \right|\text{）}$とする．$\{a_n\}$が周期$1$の数列ではなく，すべての$n$に対して$a_n\ne 0$であるとする．このとき，すべての$n$に対し，$a_n\ne \alpha$であることを示し，数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{a_n-\beta }{a_n-\alpha }}$

と定めれば数列$\{b_n\}$は等比数列となることを示せ．

(3)　(2)の数列$\{a_n\}$に対し，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$が存在することを示し，その値を求めよ．

(4)　$q=2$のとき，数列$\{a_n\}$に対し，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$が存在することを示し，その値を求めよ．

【２】　$n$を$2$より大きい自然数とする．座標平面において，原点を中心とし半径$1$の円に内接する正$n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n$がある．ただし${\mathrm{A}}_1$の座標は$(1,0)$とし，${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n$はこの順に反時計回りに並んでいるものとする．すなわち，$m$を$1$以上$n$以下の整数とするとき，${\mathrm{A}}_m$の座標は

$(\cos {\displaystyle \frac{2(m-1)\pi }{n}},\sin {\displaystyle \frac{2(m-1)\pi }{n}})$

である．袋に$1$から$n$までの番号をつけた$n$個の球が入っている．この袋から$1$つの球を取り出して，取り出した球の番号が$k$のとき，原点と${\mathrm{A}}_k$を通る直線を対称軸として正$n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n$を裏返した後，取り出した球を袋に戻す操作を考える．

(1)　この操作を$1$回行い，取り出した球の番号が$k$であるとき，頂点${\mathrm{A}}_m$が移った先の座標を求めよ．

(2)　この操作を$2$回行い，取り出した球の番号が$1$回目は$k$で，$2$回目が$l$であるとき，頂点${\mathrm{A}}_m$が移った先の座標を求めよ．

(3)　$j$を自然数とする．$j$回の操作で${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n$が同時に元の位置に戻る確率を求めよ．

(4)　$j$を自然数とする．$j$回の操作で初めて${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n$が同時に元の位置に戻る確率を求めよ．