2020　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数

$f(x)=\sin x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\sin 3x$

について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$を$\cos \alpha \text{，}$$\cos \beta$を用いて表せ．さらに，$\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )$を$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta$を用いて表せ．

(ⅲ)　$0<x<\pi$の範囲で，方程式$f^{\prime }(x)=0$の解を求めよ．

(ⅳ)　関数$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x<\pi \text{）}$の極値を求めよ．

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　関数

$f(x)=\sqrt{x^2-1}$$\text{（}x\geqq 1\text{）}$

に対して，曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．

　$2$以上の整数$n$に対して，曲線$C$上の点$(n,f(n))$における$C$の接線を$l_n$とし，$l_n$と$x$軸との交点の$x$座標を$x_n$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x>1$のとき，導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．さらに，$x_n$を$n$の式で表せ．

(ⅱ)　$x\geqq 1$のとき，$x={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^t+e^{-t})$を満たす実数$t\geqq 0$を$x$の式で表せ．ただし，$e$は自然対数$\log x$の底とする．

(ⅲ)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^t+e^{-t})$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$とおくとき，不定積分

$I={\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$

を$t$を用いた式で表せ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅳ)　曲線$C\text{，}$$x$軸および接線$l_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を$n$の式で表せ．

(ⅴ)　数列$\{T_n\}$を$T_1=0\text{，}$$T_n={\displaystyle \frac{S_n}{\log n}}$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$と定めるとき，次の極限値$T$を求めよ．

$T=\underset{n\to ⧜}{\lim }{T}_n$

【３】　$i$を虚数単位とする．また，複素数$z$に対して，$\bar{z}$はその共役複素数を表す．このとき，以下の[Ⅰ]，[Ⅱ]，[Ⅲ]の問いに答えよ．

[Ⅰ]　複素数$z$に関する方程式$(2+i)z-(1-i)\bar{z}=3+3i$の解を求めよ．

[Ⅱ]　$k$を実数とする．複素数$z$に関する方程式

$(3+4i)z-(5+ki)\bar{z}=0$

が$z\ne 0$となる解をもつとき，実数$k$の値を求めよ．

[Ⅲ]　以下では，$t$を実数とし，複素数平面上で$2$直線

$l\text{：}(t+i)z-(t-i)\bar{z}=4(t-2)i\text{，}$

$m\text{：}(1-i)(t+i)z-(1+i)\{t-i)\bar{z}=0$

を考える．

(ⅰ)　直線$l$は実数$t$の値によらずに定点$\mathrm{A}(\alpha )$を通る．複素数$\alpha$を求めよ，

(ⅱ)　$2$直線$l$と$m$のなす角$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．

(ⅲ)　$t$が実数全体を動くとき，$l$と$m$の交点$\mathrm{P}(z)$は複素数平面上でどのような図形を描くか，

【４】　自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，次の$2$つの条件によって順次定められる整式$f_n(x)$を考える．

$f_1(x)=x+3\text{，}$

$f_{n+1}(x)=(x+1)\{f_n(x)-n\}+x^{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_n=f_n(0)$とする．$a_1$を求め，$a_{n+1}-a_n$を$n$の式で表せ．さらに$a_n$を$n$の式で表せ．

(ⅱ)　$b_n=f_n(1)$とする．$b_n-2n-1$を$n$の式で表せ．

　以下，関数$y=f_n(x)$の導関数$f_n^{\prime }(x)$を考える．

(ⅲ)　$c_n=f_n^{\prime }(0)$とする．$c_{n+1}-c_n$を$n$の式で表し，さらに$c_n$を$n$の式で表せ．

(ⅳ)　$d_n=f_n^{\prime }(1)$とする．不等式$d_n>0$が成り立つことを証明せよ．

(ⅴ)　関数$y=f_n(x)$が$0<x<1$の範囲に極値をとるための$n$の条件を求めよ．