2020　電気通信大学　後期MathJax

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}$

および曲線$C\text{：}y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$の変曲点のうち，$x>0$の範囲にあるものを$\mathrm{A}$とし，その$x$座標を$a$とする．このとき，$e^a$を$m+\sqrt{n}$（$m\text{，}$$n$は整数，$n>0$）の形で求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{A}$の座標$(a,f(a))$を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線を$l$とする．直線$l$の$y$切片$b$を求めよ．

(ⅴ)　$\tan {\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$の値を求めよ，

(ⅵ)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積$S$を求めよ．

$f(x)=\sin x-t\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

および曲線$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$は$t$の値に関係なく定点$\mathrm{P}$を通る．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$f(x)$が

$f(x)=r\sin (x-\alpha )$$\text{（}r>0\text{）}$

の形に表せることを示せ，また，そのときの$r\text{，}$$\sin \alpha \text{，}$$\cos \alpha$を$t$の式で表せ，

(ⅲ)　関数$f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$の最大値と最小値を$t$の式で表せ．

(ⅳ)　$0<x<\pi$の範囲で$f^{\prime }(x)=1$を満たす$x$の値を$\beta$とする．さらに，曲線$C\text{，}$直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．このとき，$D$の面積$S$を$t$の式で表せ．

(ⅴ)　図形$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．$t=\sqrt{3}$のとき，$V$の値を求めよ．

(ⅰ)　頂点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$のなす角を求めよ．

　ここで，$0\leqq t\leqq 1$の範囲にある$t$に対して，辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{b}$で定め，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=(1-t)\overrightarrow{d}$で定める．

(ⅲ)　辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{R}$の$x$座標が$k$$\text{（}0<k<3\text{）}$であるとする，平面$x=k$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を$\mathrm{S}$とするとき，$\mathrm{PS}:\mathrm{SQ}$を求めよ．さらに，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(ⅳ)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{OABC}$内で線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる曲面によって四面体は$2$つの立体に分けられる，このうち辺$\mathrm{OA}$を含む方の立体を$M$とする．平面$x=k$$\text{（}0<x<3\text{）}$によるMの切り口の面積$f(k)$を求めよ．

(ⅴ)　立体$M$の体積$V$を求めよ．

ア　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は正の整数  イ　$a+b+c=n$

ウ　$a\leqq b\leqq c$  エ　$a+b>c$

条件($P_n$)を満たす$3$つの整数の組$(a,b,c)$の総数$T_n$を考える．例えば，$T_1=T_2=0\text{，}$$T_3=1$である．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$T_{10}\text{，}$$T_{11}$を求めよ．

(ⅱ)　$n$が奇数$\text{（}n\geqq 5\text{）}$で，$(a,b,c)$が条件($P_n$)を満たすとする．$(a-1,b-1,c-1)$が条件($P_{n-3}$)を満たさないとき，$a+b-c$の値を求めよ．

(ⅲ)　$n$が偶数$\text{（}n\geqq 4\text{）}$のとき，$T_n$を$T_{n-3}$を用いて表せ．

(ⅳ)　$n$が奇数$\text{（}n\geqq 5\text{）}$のとき，$T_n$と$T_{n-3}$の関係を考える．

$\text{①}$　$n=4k+1$（$k$は正の整数）のとき，$T_{4k+1}$を$T_{4k-2}$を用いて表せ．

$\text{②}$　$n=4k+3$（$k$は正の整数）のとき，$T_{4k+3}$を$T_{4k}$を用いて表せ．

(ⅴ)　$k$が正の整数のとき，$T_{12k-1}$を$k$の式で表せ．