2020　一橋大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を正の整数とする．

(1)　$a$が$b$の倍数ならば，$2^a-1$は$2^b-1$の倍数であることを示せ．

(2)　$2^a-1$が素数ならば，$a$は素数であることを示せ．

(3)　$2^a-1=(2a+1)(8a+1)$を満たす$a$を求めよ．

【２】　$f(x)$は$2$次以下の多項式で表される関数で

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)\mathit{dx}=0$

を満たす．このようなすべての$f(x)$に対して，不等式

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}\leqq k{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f^{\prime }(x)\}}^2\mathit{dx}$

が成り立つ定数$k$のうち最小のものを求めよ．

【３】　以下の$4$つの条件を満たす$3$次関数$f(x)$を求めよ．

(ⅰ)　$f(0)=0\text{，}$$f(2)=1$

(ⅱ)　$0.2<f(1)<0.3$

(ⅲ)　$f(x)$は極大値$0$をもつ

(ⅳ)　$f(x)=0$の解はすべて整数

【４】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人が，$\mathrm{A}$を先手として以下のルールで交互に石を取り合うゲームを行う．

　相手の石の取り方によらず勝てるような石の取り方があるとき「必勝法がある」という．

　例えば$n=4$のとき，まず$\mathrm{A}$が$1$個取れば，次に$\mathrm{B}$は$1$個か$2$個取ることができる．もし$\mathrm{B}$が$1$個取ったなら，$\mathrm{A}$は次に$2$個取ることで勝てる．もし$\mathrm{B}$が$2$個取ったら，$\mathrm{A}$は次に$1$個とることで勝てる．このように$\mathrm{B}$の石の取り方によらず$\mathrm{A}$は勝てるので，$\mathrm{A}$に必勝法がある．

(1)　$n=5$のとき，$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$のどちらに必勝法があるか答えよ．

(2)　$n=10$のとき，$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$のどちらに必勝法があるか答えよ．

【５Ⅰ】　$\underset{x\to \infty }{\lim }({\cos }^2\sqrt{x+1}+{\sin }^2\sqrt{x})$を求めよ．

【５Ⅱ】　${\displaystyle \frac{n}{1000}}\leqq {1.001}^{100}<{\displaystyle \frac{n+1}{1000}}$を満たす整数$n$を求めよ．