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2020 東京海洋大学 前期海洋生命科,海洋資源環境学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  3 次関数

f( x)=x 3-9 x2+3 x+45

について,次の問いに答えよ.

(1)  f( x) f (x) 3 で割った余りを求めよ.

(2) 関数 y= f(x ) x=p で極大値, z=q で極小値をもつ. 2 P (p,f (p) ) Q (q,f (q) ) の中点 M は曲線 y=f (x ) 上にあることを示し, y=f( x) のグラフをかけ.

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配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  ▵OAB において辺 OB 4:3 に内分する点を M とし,線分 AM 7:2 に内分する点を P とする. OA= a OB= b とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)  OP a b を用いて表せ.

(2) 辺 OA 上に点 Q OB 上に点 R をとり, OQ= qa OR= rb とおく. 3 P Q R が同一直線上にあるとき, |QP | :| PR| =t:(1 -t) とおいて q r t を用いて表せ.また, t がとりうる値の範囲を求めよ.

(3) (2)と同じ条件のとき, ▵OQR の面積が最小および最大になる t の値をそれぞれ求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  4 つのさいころを同時に投げるとき,次の問いに答えよ.

(1) 出る目の最大値が 4 となる確率を求めよ.

(2) 出る目の最大値が 5 かつ最小値が 2 となる確率を求めよ.

(3) 出る目の最大値と最小値の差が 3 という条件のもとで, 3 の目が少なくとも 1 つ出る条件付き確率を求めよ.

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【4】  a0 0 a01 を満たす定数とする.漸化式 a n+1= 4an (1- an) n=0 1 2 で定められる数列 {an } について,次の問いに答えよ.

(1) すべての n に対し, 0an 1 が成り立つことを示せ.

(2) (1)より an =sin2 θn かつ 0 θn90 ° を満たす θ n が各 n に対してただ 1 つ定められる.このとき θn +1 θn を用いて表せ.

(3)  a0=sin 230 ° sin250 ° のそれぞれの場合において数列 {an } の一般項を求めよ.

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【5】  xy 平面上で y= x2 と表される放物線 C1 および半径 r の円 C2 を考える.ただし, C1 C2 は共に点 P (1,1 ) を通り, P において共通の接線 l をもつ.このとき次の問いに答えよ.

(1) 円 C2 の方程式をすべて求めよ.

(2)  r=5 で円 C2 の中心の x 座標が負の場合について考える. C1 C2 の共有点をすべて求めよ.

(3) (2)と同じ条件のとき,円 C2 およびその内部には, C1 C2 に囲まれる図形が 2 つある.そのうち,面積が小さい方の図形の面積を求めよ.

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