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2020-10280-0101
2020 東京海洋大学 前期海洋生命科,海洋資源環境学部
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 3 次関数
f⁡( x)=x 3-9⁢ x2+3 ⁢x+45
について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) を f′⁡ (x) 3 で割った余りを求めよ.
(2) 関数 y= f⁡(x ) は x=p で極大値, z=q で極小値をもつ. 2 点 P (p,f ⁡(p) ), Q (q,f ⁡(q) ) の中点 M は曲線 y=f ⁡(x ) 上にあることを示し, y=f⁡( x) のグラフをかけ.
2020-10280-0102
【2】 ▵OAB において辺 OB を 4:3 に内分する点を M とし,線分 AM を 7:2 に内分する点を P とする. OA→= a→ , OB→= b→ とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) OP→ を a→ と b→ を用いて表せ.
(2) 辺 OA 上に点 Q , 辺 OB 上に点 R をとり, OQ→= q⁢a→ , OR→= r⁢b→ とおく. 3 点 P , Q , R が同一直線上にあるとき, |QP →| :| PR→| =t:(1 -t) とおいて q と r を t を用いて表せ.また, t がとりうる値の範囲を求めよ.
(3) (2)と同じ条件のとき, ▵OQR の面積が最小および最大になる t の値をそれぞれ求めよ.
2020-10280-0103
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【3】 4 つのさいころを同時に投げるとき,次の問いに答えよ.
(1) 出る目の最大値が 4 となる確率を求めよ.
(2) 出る目の最大値が 5 かつ最小値が 2 となる確率を求めよ.
(3) 出る目の最大値と最小値の差が 3 という条件のもとで, 3 の目が少なくとも 1 つ出る条件付き確率を求めよ.
2020-10280-0104
【4】 a0 を 0≦ a0≦1 を満たす定数とする.漸化式 a n+1= 4⁢an ⁢(1- an) ( n=0 , 1, 2, ⋯) で定められる数列 {an } について,次の問いに答えよ.
(1) すべての n に対し, 0≦an ≦1 が成り立つことを示せ.
(2) (1)より an =sin2⁡ θn かつ 0≦ θn≦90⁢ ° を満たす θ n が各 n に対してただ 1 つ定められる.このとき θn +1 を θn を用いて表せ.
(3) a0=sin 2⁢30⁢ ° , sin2⁡50⁢ ° のそれぞれの場合において数列 {an } の一般項を求めよ.
2020-10280-0105
【5】 x⁣y 平面上で y= x2 と表される放物線 C1 および半径 r の円 C2 を考える.ただし, C1 と C2 は共に点 P (1,1 ) を通り, P において共通の接線 l をもつ.このとき次の問いに答えよ.
(1) 円 C2 の方程式をすべて求めよ.
(2) r=5 で円 C2 の中心の x 座標が負の場合について考える. C1 と C2 の共有点をすべて求めよ.
(3) (2)と同じ条件のとき,円 C2 およびその内部には, C1 と C2 に囲まれる図形が 2 つある.そのうち,面積が小さい方の図形の面積を求めよ.