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2020-10280-0201
2020 東京海洋大学 前期海洋工学部
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 図のような四角形 OABC において, OA=OB= 2 , OC=1+ 3, ∠AOC= 34⁢ π とする.また, ∠AOB=θ (0<θ <34 ⁢π ) とおく.ただし, B , C は直線 OA に関して同じ側にあるとする.
(1) 四角形 OABC の面積 S を sin⁡ θ, cos⁡θ を用いて表せ.
(2) S の最大値とそのときの θ の値を求めよ.
(3) (2)のとき, ▵OBC の面積を求めよ.
2020-10280-0202
【2】 数列 { an} , {bn }, {co }, {dn } に対して,関数
Pn⁡ (x)= an⁢x 3+bn ⁢x2+ cn⁢x+ dn (n =1, 2, 3, ⋯)
を考える. Pn⁡ (x) の導関数 Pn ′⁡(x ) に対して,
Pn+1 ⁡(x )=(x +1)⁢ Pn′⁡ (x) (n =1, 2,3 ,⋯ )
がすべての実数 x に対して成り立つとする. a1= b1=c 1=d1 =1 のとき,以下の問いに答えよ,
(1) a2 , b2 , c2 , d2 を求めよ.
(2) 数列 {en }, {fn }, {gn }, {hn } を,すべての実数 x に対して,
Pn⁡ (x)= en⁢ ( x+1) 3+fn ⁢(x+ 1)2 +gn⁡ (x+1 )+hn (n =1, 2, 3,⋯ )
が成り立つように定める.このとき, {en }, {fn }, {gn }, {hn } の一般項を求めよ.ただし, k=1 , 2, 3, ⋯ に対して, (x+ 1)k の導関数は k⁢ (z+ 1)k -1 となることを用いてよい.
(3) {an }, {bn }, {cn }, {dn } の一般項を求めよ.
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【3】 四面体 OABC において, OA→= a→ , OB→= b→ , OC→= c→ とおく. |a →| =1, |b →|= 2, |c →| =x, ∠AOB= π3 , ∠BOC= π2 , ∠AOC= π4 とする.また, OA の中点を P , BC の中点を Q とする.
(1) PQ→ を a → , b→ , c→ を用いて表せ.
(2) |PQ → | が最小となる x と,そのときの | PQ→ | を求めよ.
(3) (2)のとき, cos⁡∠APQ を求めよ.
(4) (2)のとき, ▵APQ の面積を求めよ.
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【4-Ⅰ】と【4-Ⅱ】から選択
【4-Ⅰ】 座標平面上の曲線 C: y=x3- 3⁢x と点 P (p,q ) を考える.ただし, p>0 とする.
(1) C 上の点 ( t,t3- 3⁢t) における C の接線の方程式を t を用いて表せ.
(2) 点 P を通る C の接線がちょうど 2 本あるための p , q の満たす条件を求めよ.
(3) p, q が(2)の条件に加えて q< -2 を満たすとき,点 P を通る C の 2 つの接線と C とで囲まれた図形の面積を p を用いて表せ.
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【4-Ⅱ】 x>0 で定義される関数 f⁡ (x)= (x-1 )⁢log⁡ x に対して,座標平面上の曲線 C: y=f⁡( x) を考える.
(1) x>0 で, f′⁡ (x) =0 を満たす x は, x=1 のみであることを示せ.
(2) f⁡(x ) の増減,極値, C の凹凸を調べ, C の概形を描け.
(3) C 上の点 ( e,e-1 ) における C の接線を l とする. C, l および直線 x=1 で囲まれた図形の面積を求めよ.