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2020 東京海洋大学 前期海洋工学部

配点25点

易□ 並□ 難□

2020年東京海洋大前期海洋工学部K【1】2020102800201の図

【1】 図のような四角形 OABC において, OA=OB= 2 OC=1+ 3 ∠AOC= 34 π とする.また, ∠AOB=θ (0<θ <34 π ) とおく.ただし, B C は直線 OA に関して同じ側にあるとする.

(1) 四角形 OABC の面積 S sin θ cosθ を用いて表せ.

(2)  S の最大値とそのときの θ の値を求めよ.

(3) (2)のとき, ▵OBC の面積を求めよ.



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配点25点

易□ 並□ 難□

【2】 数列 { an} {bn } {co } {dn } に対して,関数

Pn (x)= anx 3+bn x2+ cnx+ dn n =1 2 3

を考える. Pn (x) の導関数 Pn (x ) に対して,

Pn+1 (x )=(x +1) Pn (x) n =1 23

がすべての実数 x に対して成り立つとする. a1= b1=c 1=d1 =1 のとき,以下の問いに答えよ,

(1)  a2 b2 c2 d2 を求めよ.

(2) 数列 {en } {fn } {gn } {hn } を,すべての実数 x に対して,

Pn (x)= en ( x+1) 3+fn (x+ 1)2 +gn (x+1 )+hn n =1 2 3

が成り立つように定める.このとき, {en } {fn } {gn } {hn } の一般項を求めよ.ただし, k=1 2 3 に対して, (x+ 1)k の導関数は k (z+ 1)k -1 となることを用いてよい.

(3)  {an } {bn } {cn } {dn } の一般項を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 四面体 OABC において, OA= a OB= b OC= c とおく. |a | =1 |b |= 2 |c | =x ∠AOB= π3 ∠BOC= π2 ∠AOC= π4 とする.また, OA の中点を P BC の中点を Q とする.

(1)  PQ a b c を用いて表せ.

(2)  |PQ | が最小となる x と,そのときの | PQ | を求めよ.

(3) (2)のとき, cos∠APQ を求めよ.

(4) (2)のとき, ▵APQ の面積を求めよ.

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【4-Ⅰ】と【4-Ⅱ】から選択

易□ 並□ 難□

【4-Ⅰ】 座標平面上の曲線 C y=x3- 3x と点 P (p,q ) を考える.ただし, p>0 とする.

(1)  C 上の点 ( t,t3- 3t) における C の接線の方程式を t を用いて表せ.

(2) 点 P を通る C の接線がちょうど 2 本あるための p q の満たす条件を求めよ.

(3)  p q が(2)の条件に加えて q< -2 を満たすとき,点 P を通る C 2 つの接線と C とで囲まれた図形の面積を p を用いて表せ.

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【4-Ⅰ】と【4-Ⅱ】から選択

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【4-Ⅱ】  x>0 で定義される関数 f (x)= (x-1 )log x に対して,座標平面上の曲線 C y=f( x) を考える.

(1)  x>0 で, f (x) =0 を満たす x は, x=1 のみであることを示せ.

(2)  f(x ) の増減,極値, C の凹凸を調べ, C の概形を描け.

(3)  C 上の点 ( ee-1 ) における C の接線を l とする. C l および直線 x=1 で囲まれた図形の面積を求めよ.

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