2020　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　空間内に$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=k$$\text{（}0<k<1\text{）}$

をみたしている．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表す．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{OM}$上に点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{\angle APB}=90\mathrm{°}$をみたしている．${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}}$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$をそれぞれ$k$の式で表せ．

【２】　中身の見えない$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．箱$\mathrm{A}$には白玉と赤玉がそれぞれ$2$個ずつ入っており，箱$\mathrm{B}$には白玉$\mathrm{1}$個だけが入っている．このとき，$n$を正の整数として，次の操作(＊)を考える．

操作(＊)を一度行なったとき，箱$\mathrm{B}$から取り出した玉が$n$回ともすべて白玉である確率を$p_n$とし，箱$\mathrm{B}$から取り出した玉が$n$回ともすべて白玉であるという条件のもとで，はじめに箱$\mathrm{A}$から取り出した玉が$2$個とも白玉である条件付き確率を$q_n$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$p_2\text{，}$$q_2$を求めよ．

(2)　$p_n\text{，}$$q_n$を求めよ．

(3)　$q_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす最小の$n$の値を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}$$b$に対し，関数$f(x)$を

$f(x)=-x^3+(a+2)x^2-(3a-b-2)x-3(b-1)$

と定める．$xy$平面上で$y=f(x)$の表す曲線を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　どのような$a\text{，}$$b$の値に対しても，$C$はある定点を通ることを示せ．

(2)　$f(x)$は極値をとるとする．$C$が$x$軸に接するような$(a,b)$の存在範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(3)　$(a,b)$が(2)で求めた範囲にあるとき，$f(x)$の極値を$a$の式で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=(e^x-1)\cos x-\sin x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\log (\sin x)}{\tan x}}\mathit{dx}$

を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$に対して，複素数$z$を

$z={\displaystyle \frac{A+\sqrt{5}Bi}{C+\sqrt{5}Di}}$

で定める．ただし，$C+\sqrt{5}Di\ne 0$とする．このとき，$z=x+yi$をみたす実数$x\text{，}$$y$を$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$の式で表せ．

(2)　次をみたす整数$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$を求めよ．

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{16+\sqrt{5}i}{29}}={\displaystyle \frac{A+\sqrt{5}Bi}{C+\sqrt{5}Di}}\\ AD-BC=-1\\ D>0\end{array}$

【４】　$xyz$空間に，$2$点$\mathrm{A}$$(1,2,9)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-3,6,7)$を通る直線$l$がある．また，$l$上の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と，$x$軸上の点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$は

直線$\mathrm{PR}\perp xy$平面，直線$\mathrm{QS}\perp x$軸，直線$\mathrm{QS}\perp l$

をみたす．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{S}$の座標を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面と，$\mathrm{P}$を含み$x$軸に垂直な平面と，$\mathrm{Q}$を含み$x$軸に垂直な平面で囲まれた立体の体積を求めよ．

【５】　$a$を正の実数とする．$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{n+a-\mathrm{l}}{e}^{-x}\mathit{dx}$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$I_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+a}}$を示せ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$I_{n+1}-(n+a)I_n$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n$を求めよ．

(4)　実数$b\text{，}$$c$に対して，$J_n=n^3(I_n+{\displaystyle \frac{b}{n}}+{\displaystyle \frac{c}{n^2}})$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$と定める．数列$\{J_n\}$が収束するとき，次の問いに答えよ．

(ア)　$b$を求めよ．

(イ)　$c$を$a$の式で表せ．

(ウ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_n$を$a$の式で表せ．