2020　新潟大学　前期MathJax

【１】　$n$を正の整数とする．$3$種類の数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3$を並べて，各位の数が$1\text{，}$$2\text{，}$$3$のいずれかである$n$桁の整数をすべて作る．数字は重複して使ってもよいし，使わない数字があってもよい．各位の数の合計が奇数になる整数の総数を$x_n\text{，}$各位の数の合計が偶数になる整数の総数を$y_n$とする．また，各位の数の合計が$4$の倍数になる整数の総数を$z_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n$を$2$以上の整数とするとき，

$\{\begin{array}{l}{x}_n=a{x}_{n-1}+b{y}_{n-1}\\ y_n=c{x}_{n-1}+d{y}_{n-1}\end{array}$

を満たす定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$y_n+x_n\text{，}$$y_n-x_n$および$y_n$の値を$n$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　$z_n$の値を$n$を用いて表せ．

【２】　正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$(1-x):x$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$x$は$0<x<1$を満たす．$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$および$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=t\overrightarrow{c}$を満たす$t$の値を$x$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{EG}$の長さを最小にする$x$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{EG}$の長さの最小値は辺$\mathrm{OA}$の長さの何倍であるか求めよ．

【３】　放物線に関する次の問いに答えよ．

(1)　正の整数の組$(m,n)$に対して，次の条件を考える．

放物線$y=m{x}^2-6x+n$は，$x$軸と$0<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$の範囲で相異なる$2$点で交わる．

この条件を満たす正の整数の組$(m,n)$のうちで，$m+n$の値が最小になるのは，$(4,1)$のときであることを証明せよ．

(2)　$2$つの放物線$y=4x^2-6x+1$と$y=x^2-6x+4$の両方に接する直線は$2$本ある．それらの直線の方程式を求めよ．

(3)　不等式$x>0$で表される領域において，(2)の$2$つの放物線と(2)で求めた直線のうちの$1$本で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　単位円$x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{Q}$の座標を$(X,Y)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$軸の正の部分に始線をとり，点$\mathrm{Q}$が一般角$\theta$の動径上にあるとき，$X\text{，}$$Y$の値を$\theta$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$2X+3Y$の取り得る値の範囲を求めよ．

(3)　$XY-Y^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

(4)　$6X^2-3X+4Y^2$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

【１】　正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$y:(1-y)$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$(1-x):x$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$(1-y):y$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$x\text{，}$$y$は$0<x<1\text{，}$$0<y<1$を満たすものとする．$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$および$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=t\overrightarrow{c}$を満たす$t$の値を$x$を用いて表せ．

(3)　辺の長さに関して，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$が成り立つとする．$\mathrm{OA}=h\text{，}$$\mathrm{OA}:\mathrm{AB}=1:k$として，線分$\mathrm{EG}$の長さを最小にする$x$の値を$k$を用いて表せ．また，そのときの線分$\mathrm{EG}$の長さを$h$と$k$を用いて表せ．

【２】　$m$を正の整数とする．次の問いに答えよ．

(1)　方程式$70x+130y=m$が整数解をもつときの$m$の最小値を$m_0$とする．$m_0$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$m_0$に対して，方程式$70x+130y=m_0$の整数解をすべて求めよ．

(3)　次の条件を満たす$m$の最小値を求めよ．

　方程式$70x+130y=m$は，$x\text{，}$$y$がともに正の整数である解をちょうど$3$組もつ．

【３】　$n$を正の整数とする．$3$種類の数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3$を並べて，各位の数が$1\text{，}$$2\text{，}$$3$のいずれかである$n$桁の整数をすべて作る．数字は重複して使ってもよいし，使わない数字があってもよい．次の問いに答えよ．

(1)　各位の数の合計が奇数になる整数の総数を$x_n\text{，}$各位の数の合計が偶数になる整数の総数を$y_n$とする．$y_n+x_n\text{，}$$y_n-x_n$および$y_n$の値を$n$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　各位の数の合計が$4$の倍数になる整数の総数を$z_n$とするとき，$z_n$の値を$n$を用いて表せ．

(3)　$y_n\text{，}$$z_n$は(1)，(2)で求めたものとする．初項$c_1$は$0$でないとして，次の条件を満たす等比数列$\{c_n\}$の公比を求めよ．

数列$\{c_n({\displaystyle \frac{z_n}{y_n}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left)\right\}$が$0$でない値に収束する．

【４】　$n$を$0$以上の整数とし，次の式で$I_n$を定める．

$I_0={\displaystyle {\int }_{-2}^2}\sqrt{4-x^2}\mathit{dx}\text{，}$$I_n={\displaystyle {\int }_{-2}^2}{x}^n\sqrt{4-x^2}\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{．}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$I_0\text{，}$$I_1$および$I_2$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{I_{2n+2}}{I_{2n}}}$の値を$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{I_{2n}}{2^n}}=\infty$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{I_{2n}}{2^{2n}}}=0$が成り立つことを証明せよ．

【５】　複素数を極形式で表したときの偏角$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$の範囲にとる．$3$以上の整数$n$に対して，方程式$x^n=i$の解を極形式で表したとき，偏角の小さい順に${\alpha }_0\text{，}$${\alpha }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\alpha }_{n-1}$とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問いに答えよ．

(1)　$k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対して，${\alpha }_k$を極形式で表せ．

(2)　$k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対して，${\alpha }_k={\alpha }_0{\beta }_k$と${({\beta }_k)}^n=1$を同時に満たす複素数${\beta }_k$が存在することを証明せよ．

(3)　$k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対して，${\gamma }_k={\alpha }_0+{\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_k$とする．また，${\gamma }_k$を表す複素数平面上の点を${\mathrm{P}}_k$とする．このとき，${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}$を頂点とする多角形は正$n$角形であることを証明せよ．

(4)　$n=6$とし，(3)で求めた正$6$角形の頂点${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_5$を通る円の中心が表す複素数を求めよ．ただし，求めた答えの複素数には極形式を使わないこと．