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2020-10341-0101
2020 富山大学 前期
人間発達科,経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 方程式 97 ⁢x+17⁢ y=1 の整数解をすべて求めよ.
(2) 方程式 y= |- 9717⁢ x+1 17| を成り立たせる整数の組 (x, y) のうち, y が 50 ≦y≦200 の範囲にあるものをすべて求めよ.
2020-10341-0102
【2】 平面上の三角形 ABC について,辺 BC , 辺 CA , 辺 AB の長さをそれぞれ a , b , c とおく.頂点 A , B からそれぞれの対辺またはその延長に下ろした2本の垂線の交点を P とする.
(1) 2 つのベクトル CA→ , CB→ の内積 CA →⋅ CB→ を a , b , c を用いて表せ.
(2) a , b , c が a 2+b 2-c 2=2 を満たすとする.
(ア) a⁢b> 1 であることを示せ.
(イ) CP→ =s⁢CA →+t ⁢CB→ おくとき, s , t をそれぞれ a , b を用いて表せ.
2020-10341-0103
【3】 f⁡( x)= |x2 -4|- 2⁢x とする.
(1) 関数 y =f⁡( x) のグラフをかけ.
(2) 方程式 |x2 -4| =2⁢x+ k が異なる 4 つの実数解をもつような定数 k の範囲を求めよ.
(3) 曲線 y =f⁡( x) と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2020-10341-0104
理,工,医,薬,都市デザイン学部
【1】 座標空間の 2 点 A (-1 ,0.2 ), P (0. sin⁡θ,cos ⁡θ) を通る直線と x ⁣y 平面との交点を Q (X, Y,0) とおく. θ が 0 ≦θ≦π の範囲を動くとき, x⁣y 平面上で点 Q がえがく曲線を C とする.次の問いに答えよ.
(1) X , Y をそれぞれ θ を用いて表せ.
(2) Y2 を X の式で表せ.
(3) 曲線 C の概形を x ⁣y 平面上にかけ.
(4) x⁣y 平面上で曲線 C と x 軸によって囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.
2020-10341-0105
【2】 次の問いに答えよ.
(1) 不等式
a2+ b2+ c2–a ⁢b-b⁢ c-c⁢a ≧0
が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.ただし, a , b , c は実数とする.
(2) 不等式
a5-a 2a4 +b+c ≧ a3- 1a⁢ (a+b +c)
が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.ただし, a , b , c は正の実数とする.
(3) 不等式
a5-a 2a 4+b+ c+ b 5-b2 b4 +c+a + c5-c 2c4 +a+b ≧0
が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.ただし, a , b , c は a ⁢b⁢c ≧1 を満たす正の実数とする.
2020-10341-0106
【3】 関数 g 1⁡( x) , g 2⁡( x) , g 3⁡( x) を x >0 において以下のように定義する.
g 1⁡( x)= ∫1 xx2 1t ⁢log ⁡( xt )⁢ dt, g 2⁡( x)= ∫1x x2 f⁡(t )⁢dt ,
g 3⁡( x)= ∫1 xx2 1t ⁢f⁡ ( xt) dt
ただし, f⁡( x) は連続な関数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) g 1′ ⁡( x) を求めよ,
(2) g 2′⁡( x) を f⁡ (x2 ) と f⁡ ( 1x ) を用いた式で表せ.
(3) g 3′⁡( x) を f⁡( x2 ) と f⁡ ( 1x ) を用いた式で表せ.
(4) x>1 において, g2′ ⁡( x)> 0 かつ g3′ ⁡(x )<0 が成り立つとする.
(ア) x>1 において, f⁡( x2) >0 であることを示せ.
(イ) 方程式 f ⁡(x )=0 の x >0 における解を求めよ.