2020　富山大学　後期工，都市デザイン学部MathJax

【１】　関数$f(x)$が$\text{①}$の式を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

${\displaystyle {\int }_a^x}f(t)\mathit{dt}=x^3-6x^2+11x-6$$\cdots \text{①}$

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$\text{①}$が成り立つ$a$の値をすべて求めよ．

(3)　$\text{②}$の式を満たす実数$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数とする．

${\displaystyle {\int }_x^{x+b}}f(t)\mathit{dt}=x{f}^{\prime }(x)+cx+d$$\cdots \text{②}$

【２】　$xy$平面上に，方程式${\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$の表す曲線$C$があるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x$軸および$y$軸のそれぞれと$C$との交点の座標をすべて求めよ．

(2)　直線$y=x+1$と$C$の交点の座標をすべて求めよ．

(3)　点$(2,0)$を通る$C$の接線の方程式をすべて求めよ．

(4)　$C$で囲まれた領域の$x\leqq 1$の部分の面積を求めよ．

【３】　漸化式$a_{n+1}-a_n=r(1-a_{n+1})a_n\text{，}$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．ただし，定数$r$と初項$a_0=a$は正とする．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$と$r$で表せ．

(2)　一般項$a_n$が次式で与えられることを証明せよ．

$a_n={\displaystyle \frac{a{(1+r)}^n}{1-a+a{(1+r)}^n}}$

(3)　$0<a<1$のとき，$a_n$が$n$の増加に伴って単調に増加することを証明せよ．