2020　富山大学　推薦理学部数学科MathJax

【１】　$a>0$とする．$0<x<a$で定義された関数

$f(x)=\sqrt{a^2-x^2}+a\log x-a\log (a+\sqrt{a^2-x^2})$

の導関数を求めて，$f(x)$は$0<x<a$で常に増加することを示せ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{{(x+1)}^2}}$

で定義する．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，グラフの凹凸，漸近線を調べて，グラフの概形をかけ．

(2)　$n$を$1$以上の整数として，

$I_n={\displaystyle {\int }_n^{n+1}}f(x)\mathit{dx}$

とする．$I_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(n+1)I_n$の値を求めよ．ただし，必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=e$であることを使ってもよい．

【３】　$a$を$\left|a\right|\leqq 20$を満たす整数とし，$3$次方程式

$x^3-3x-a=0$$\cdots \text{①}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　①が整数の解をもつとき，$a$の値および$\text{①}$の整数の解をすべて求めよ．

(2)　$a=1$のとき，$\text{①}$が有理数の解をもたないことを示せ．