2020　富山大学　推薦人間発達科学部MathJax

【１】　実数全体で定義された関数$f(x)$を以下のように定める．

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$

ここで，$e$は

$e=\underset{t\to 0}{\lim }{(1+t)}^{\frac{1}{t}}$(＊)

によって定められる定数であり，自然対数の底と呼ばれる．$e$を底とする対数関数$\log x$$\text{（}={\log }_{e}x\text{）}$を自然対数関数という．また，$e$のおおよその値は$e\fallingdotseq 2.718$であることが知られている．

　以下の問に答えよ．

(1)　(＊)を利用して$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^h-1}{h}}=1$を証明せよ．

(2)　${(e^x)}^{\prime }=e^x$を証明せよ．

(3)　$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(4)　曲線$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq a$の部分を$x$軸の周りに回転してできる図形の体積$V_a$を$a$を用いて表わせ．

(5)　曲線$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq a$の部分を$y$軸の周りに回転してできる図形の体積$W_a$を$a$を用いて表わせ．