2020　金沢大学　前期理工，医薬保健学域MathJax

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2020　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域

易□　並□　難□

【１】　 $1$ 個のサイコロを $3$ 回投げ，出た目を順に $a ，$ $b ，$ $c$ とする．座標平面上に $3$ 点 $A$ $(a, 1) ，$ $B$ $(- b, 0) ，$ $C$ $(c, 0)$ を定め，それらを頂点とする $▵ABC$ を考える．ただし，サイコロは $1$ から $6$ までの目が同じ確率で出るものとする．次の問いに答えよ．

(1)　 $▵ABC$ の面積の値が整数となる確率を求めよ．

(2)　 $▵ABC$ が直角三角形となる確率を求めよ．

(3)　 $▵ABC$ が二等辺三角形となる確率を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　実数 $k$ と複素数 $z$ （ただし $z \neq 1$ ）に対して， $w = \frac{z + k}{z + 1}$ とする．また， $i$ を虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $k = 0$ とする． $z = 0$ に対する $w$ の値を $α ，$ $z = 1$ に対する $w$ の値を $β ．$ $z = \sqrt{3} i$ に対する $w$ の値を $γ$ とする．複素数平面上の $3$ 点 $A (α) ，$ $B (β) ，$ $C (γ)$ を頂点とする $▵ABC$ について， $∠BAC$ の大きさを求めよ．

(2)　 $k = - 1$ とする．点 $z$ が複素数平面の原点 $O$ を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円の周上を動くとき，点 $w$ の描く図形を求めよ．

(3)　 $k \neq 1$ とする．複素数平面において，点 $z$ が虚軸上を動くとき，点 $w$ の描く図形を $F$ とする． $F$ が半径 $\frac{1}{2}$ の円の周に含まれるときの $k$ の値をすべて求めよ．

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【３】　平面上に $2$ つの定点 $O$ と $U$ があり， $OU = 3$ を満たしている．点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ と $1$ 辺の長さが $3$ の正三角形 $▵STU$ があり，辺 $ST$ の中点が線分 $OU$ 上にあるものとする．

　 $▵STU$ の内部または周上の点 $P$ から円 $C$ へ異なる $2$ 本の接線を引き，それらの接点をそれぞれ $A ，$ $B$ とする． $▵OAB$ を直線 $OP$ のまわりに $1$ 回転してできる円すいの体積を $V$ とする．点 $P$ が $▵STU$ の内部および周上を動くとき， $V$ の最大値と最小値を求めよ．また， $V$ の最大値，最小値をとるような点 $P$ の存在範囲をそれぞれ $▵STU$ の内部および周上に図示せよ．

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【４】　 $- 2 π ≦ x ≦ π$ のとき，関数

$f (x) = \frac{2 \sqrt{2} π}{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{3}) + \frac{(3 - 2 \sqrt{2}) π}{3}$

を考える．次の問いに答えよ．必要であれば， $π^{2} < 10$ を用いてよい．

(1)　 $f (x)$ は閉区間 $[- 2 π, π]$ で増加することを示せ．

(2)　開区間 $(- 2 π, π)$ で，つねに $f (x) > x$ が成り立つことを示せ．

(3)　 $f (x)$ の逆関数 $f^{- 1} (x)$ について定積分 $\int_{f (0)}^{f (π)} f^{- 1} (x) dx$ の値を求めよ．

(4)　 $f (x)$ とその逆関数 $f^{- 1} (x)$ について， $2$ つの曲線

$C_{1} ： y = f (x)$ $（ 0 ≦ x ≦ π ）$

$C_{2} ： y = f^{- 1} (x)$ $（ f (0) ≦ x ≦ f (π) ）$

を考える． $C_{1} ，$ $C_{2}$ および直線 $x + y = f (0)$ で囲まれた図形の面積を求めよ．

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