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2020-10361-0301
2020 金沢大学 後期 理工学域
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) (x+y+ 1)⁢( x-y+1) =4 を満たす整数 x , y の組をすべて求めよ.
(2) (x+y +1)2 +(x- y+1)2 =4 を満たす整数 x , y の組をすべて求めよ.
(3) 1x+ y+1+ 1x- y+1= 2 を満たす整数 x , y の組をすべて求めよ.
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【2】 1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC がある.辺 AB を 1: 2 に内分する点を D とする.また, 0<s<1 , 0<t<1 に対し,辺 OA を s:( 1-s) に内分する点を P , 辺 CD を t:( 1-t) に内分する点を Q とする. OA→= a→ , OB→= b→ , OC→= c→ とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) PQ→ を a→ , b→ , c→ , s, t を用いて表せ.
(2) PQ⊥CD のとき, s を t を用いて表し, t がとりうる値の範囲を求めよ.
(3) PQ⊥CD とする. 3 点 O , B , C が定める平面を α とする.平面 α 上の点 R があって, PQ→= OR→ となるように t を定め,このときの ▵OBR の面積を求めよ.
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【3】 t≧0 とする.次の問いに答えよ.
(1) x についての方程式 2⁢sin⁡ x2 =t⁢cos⁡ x2 が 0≦x≦ π の範囲でただ 1 つの解をもつことを示せ.
(2) S⁡(t )=∫ 0x| 2⁢sin⁡ x2-t⁢ cos⁡x2 |⁢ dx とする.曲線 y=S⁡ (t) (t≧ 0) と直線 y=k が異なる 2 個の共有点をもつような定数 k の値の範囲を求めよ.
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【4】 定数 a , b, c は a≧b≧ c>1 を満たし,正の定数 p , q, r は p+q+r =1 を満たすとする.関数 f⁡( x), g⁡(x ) をそれぞれ
f⁡(x )=p⁢a x+q⁢b x+r⁢cx ( x は実数),
g⁡(x )=( f⁡(x )) 1x (x >0 )
とおく.次の問いに答えよ.
(1) log⁡f⁡( 0) の値および ( log⁡f⁡( x)) ′ を求めよ.
(2) limx→ +0log⁡ g⁡(x ) を求めよ.
(3) x>0 のとき, log⁡p+x ⁢log⁡a≦ log⁡f⁡( x)≦x⁢ log⁡a を示せ.
(4) limx→ ∞g⁡( x) を求めよ.