2020 福井大学 前期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2020 福井大学 前期

教育,国際地域科学部

易□ 並□ 難□

【1】 自然数 n に対して,整数 a n bn (2+ 3) n=a n+bn 3 となるように定める.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  an+ 1 bn+1 を, an bn を用いて表せ.

(2) すべての自然数 n に対して, an 2-3 bn2 =1 が成り立つことを示せ.

(3)  a4 x+b 4y= 1 を満たす整数 x y の組で, |x| <50 を満たすものをすべて求めよ.

2020 福井大学 前期

教育,国際地域科,工学部

工学部は【4】

医学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  2 3 4 5 6 の番号を 1 つずつ書いた 5 枚のカードがある.このカードの中から無作為に 1 枚を取り出し,カードの番号を記録してもとに戻す.この試行を 4 回繰り返し, k 回目 k=1 2 3 4 に取り出したカードの番号を n k とおく. n1 n2 n3 n4 の積 n 1n2 n3 n4 m とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1)  m が奇数である確率を求めよ.

(2)  m が奇数であるとき, m 3 で割り切れない確率を求めよ.

(3)  m 3 で割り切れない偶数である確率を求めよ.

(4)  m 6 の倍数である確率を求めよ.

2020 福井大学 前期

教育,国際地域科学部

易□ 並□ 難□

【3】 正方形 ABCD を底面とし,すべての辺の長さが等しい四角 すい OABCD を考える.辺 AB 2: 1 に内分する点を P OB 2 :1 に内分する点を Q 3 D P Q を通る平面を α とし,平面 α と辺 OC の交点を R とする. OA =a OB =b OC =c とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1)  OD OP a b c を用いて表せ.

(2)  OR:CR を求めよ.

(3) 点 O を通り,平面 α に垂直な直線が α と交わる点を S とするとき, OS a b c を用いて表せ.

2020 福井大学 前期

教育,工学部

教育学部は【4】と【5】から1題選択

工学部は【2】

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f( x)= tanx- 8sin x (0 x< π2 ) のグラフを C とする.以下の問いに答えよ.

(1)  f( x) の最小値を求めよ.

(2) 曲線 C x 軸との共有点のうち原点と異なる点の座標を (a, 0) とするとき, cosa の値を求めよ.

(3) 曲線 C x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

2020 福井大学 前期

教育学部

【4】と【5】から1題選択

易□ 並□ 難□

【5】  a - 1a< 2 を満たす定数とする. f( x)= (x+a )( x+2 ) について,以下の問いに答えよ.

(1)  f( x) の最小値を, a を用いて表せ.

(2) 曲線 y= f( x) と直線 y =ax+ 1- a2 が共有点をもつような定数 a の値の範囲を求めよ.

(3) すべての実数 x について {f( x)+ a} {f( x)+2 }>0 が成り立つような定数 a の値の範囲を求めよ.

2020 福井大学 前期

国際地域科学部

易□ 並□ 難□

【6】  a b c は定数とする.関数 f( x)= x3+a x2 +bx+ c は, x=-2 で極大値 13 をとり, x=2 で極小値をとる.また, g( x)= |x2 +18x |-3 とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a b c の値をそれぞれ求めよ.

(2)  2 つの曲線 y =f( x) y=g (x ) の共有点の座標をすべて求めよ.

(3)  2 つの曲線 y =f( x) y=g (x ) で囲まれた部分の面積 S を求めよ.

2020 福井大学 前期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=x 2-4 を用いて数列 {an } を次のように定める.

(ⅰ)  a1= 4 とする.

(ⅱ)  n=1 2 3 に対して,点 (an ,f (an )) における曲線 y =f( x) の接線と x 軸との交点を (a n+1 ,0) とする.

 また,数列 {bn } b n= an- 2an +2 により定める.以下の問いに答えよ.

(1)  a2 の値を求めよ.また, an+ 1 a n を用いて表せ.

(2)  bn+1 b n を用いて表せ.

(3)  cn= log3 bn とする.数列 {cn } の一般項を求めよ.

(4)  {b n} の一般項を求めよ.また, {a n} の一般項を求めよ.

2020 福井大学 前期

工学部

易□ 並□ 難□

【3】  ▵OAB において OA =1 OB=2 AB=2 とする. t 0 <t<1 を満たす実数とし,辺 OA t :(1 -t) に内分する点を P OB ( 1-t) :t に内分する点を Q 線分 PQ (1- t): t に内分する点を R とする. OA =a OB =b として,以下の問いに答えよ.

(1) 内積 a b を求めよ.

(2) 点 O から辺 AB に下ろした垂線と辺 AB の交点を C とする. OC a b→: を用いて表せ.

(3)  OR t a b を用いて表せ.また,点 R から辺 AB に下ろした垂線と辺 AB の交点を S とする. RS t a b を用いて表せ.

(4)  t 0 <t<1 の範囲を動くとき, ▵RAB の面積の最大値を求めよ.

2020 福井大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】  a1= 3 a2= -4 an+ 2=a n+1 +an n=1 2 3 で定められた数列 {an } b 1=-5 b2= 12 bn+ 2= bn+1 2+b n2 n=1 2 3 で定められた数列 {bn } がある. cn= 2an +3b n2 zn= an+b ni n=1 2 3 とおく.ただし, i は虚数単位とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  c3 z3 をそれぞれ求めよ.

(2) 複素数 w (1- i)w +(1+ i) w=2 を満たすとき, |z3 -w| の最小値を求めよ.また,そのときの w を求めよ.ただし, w w の共役複素数とする.

(3) すべての正の整数 n に対して, cn c n+1 は互いに素な整数であることを示せ.

2020 福井大学 前期

医(医学科)学部

教育,国際地域科【2】,工学部【4】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  2 3 4 5 6 の番号を 1 つずつ書いた 5 枚のカードがある.このカードの中から無作為に 1 枚を取り出し,カードの番号を記録してもとに戻す.この試行を 4 回繰り返し, k 回目 k=1 2 3 4 に取り出したカードの番号を n k とおく. n1 n2 n3 n4 の積 n 1n2 n3 n4 m とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1)  m が奇数である確率を求めよ.

(2)  m 6 の倍数である確率を求めよ.

(3)  m 30 の倍数である確率を求めよ.

2020 福井大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x )=3 tanx +8cos x ( 0x< π 2 ) が極大値をとる x の値を a とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 不定積分 tan2 x dx を求めよ.

(2)  sina の値を求めよ.

(3) 曲線 y =f( x) x 軸, y 軸および直線 y =a で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.

2020 福井大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【4】 座標空間において,高さ 6 の円柱 K がある. 1 つの底面は x y 平面上にあり,原点 O を中心とする半径 2 の円である.この円を C とする.もう 1 つの底面は平面 z =6 上にあり,点 P (0, 0,6 ) を中心とする半径 2 の円である.すべての辺が円 C に接するような正 n 角形 n=3 4 5 A n とする.点 (2, 0,0 ) は, C A n が接する点の 1 つである. An を底面とし,点 P を頂点とする正 n すい L n とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(注意)正 n 角錐とは底面が正 n 角形で,側面がすべて合同な二等辺三角形である角錐のことである.

(1)  An 1 つの頂点と点 P を通る直線は K の側面と交わる.この交点の z 座標を求めよ.

(2) (1)で求めた z 座標を t n とおく. Ln K の共通部分で, zt n を満たす部分の体積を求めよ.

(3) (2)で求めた体積を W n とするとき, limn W n を求めよ.

inserted by FC2 system