2020　山梨大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(1)　山梨大学のある学科の学生数は$30$名であった．このうち，山梨県内出身の学生数が$17$名，山梨県外出身または身長が$170\mathrm{cm}$未満の学生数が$26$名であった．山梨県内出身かつ身長が$170\mathrm{cm}$未満の学生数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$はともに鋭角で，$\mathrm{AB}=14\text{，}$$\sin A={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}$$\sin B={\displaystyle \frac{12}{13}}$とする．$a=\mathrm{BC}\text{，}$$b=\mathrm{CA}$をそれぞれ求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(3)　$600$を互いに素である$2$つの自然数の積として表す方法は何通りあるか求めよ．ただし，$2$つの相異なる数$A\text{，}$$B$に対して，$600=A\times B$と$600=BA$は区別するものとする．たとえば，$600=1\times 600$と$600=600\times 1$は区別する．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(4)　${(4a+3b+2c+d)}^4$を展開したときの$abcd$の係数を求めよ．

【２】　$t>0$に対し，$S(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-t^2|\mathit{dx}$とおく．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

【３】　平面において$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$があり，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$かつ$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は平行ではないとする．また，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=p\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=q\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=r$とおく．

(1)　$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$のとき，$p=x+ry$であることを示せ．

(2)　(1)の$x\text{，}$$y$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}-z\overrightarrow{a}$が垂直になるように$z$を定めよ．また，このとき，$\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-z\overrightarrow{a})$を満たす$s\text{，}$$t$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

【１】

(1)　整数$a\text{，}$$b$はともに$3$で割った余りが$1$である．このとき，$ab$を$3$で割ると余りは$1$であることを示せ．また，整数$m\text{，}$$n$がともに$3$の倍数でないとき，$m^2+n^2$を$3$で割った余りを求めよ．

【１】

(2)　実数$x\text{，}$$y$が$0\leqq x\leqq 1\text{，}$$0\leqq y\leqq 1$の範囲を動くとする．$X=3x+2y\text{．}$$Y=2x+3y$とするとき，点$(X,Y)$の動く領域を$XY$平面上に図示せよ．

【１】

(3)　$n$を整数とするとき，複素数$z={\displaystyle \frac{{(\sqrt{3}+i)}^n(\sqrt{3}+3i)}{-1+i}}$は実数でないことを示せ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$を実数とし，$a\ne b$とする．$xy$平面において，$2$直線$y=2ax\text{．}$$y=2bx$が放物線$C\text{：}y=x^2+2px+q$と接している．

(1)　$p$および$q$を，$a\text{，}$$b$を用いた式で表せ．

(2)　$a\text{，}$$b$が$a^2+b^2=4$の関係を保ちながら動くとき，$p$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$が$a^2+b^2=4$の関係を保ちながら動くとき，$C$の頂点の軌跡を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x{e}^{-x}$に関する次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき$f(x)<{\displaystyle \frac{2}{x}}$を示せ．また，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，凹凸，および変曲点を調べよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$x=1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　$2$以上の整数$n$と実数$p_n$に対し，$xy$平面上の曲線$A_n\text{：}y=p_n{x}^n$と曲線$B\text{：}y=\log x$を考える．この$2$つの曲線が共有点$(a_n,\log a_n)$をもち，この点で共通の接線をもつとする．

(1)　$p_n$および$a_n$を，$n$を用いて表せ．

(2)　$A_n\text{．}$$B$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を，$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{S}_n$を求めよ．なお，不等式$1+{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{2n^2}}\leqq e^{\frac{1}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{2n^2-1}{2n(n-1)}}$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$を利用してもよい．