2020　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{キ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　$x^{2020}$を$x^2-x+1$で割った余りは$\text{ア}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{キ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　$\sqrt{2020}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．${\displaystyle \frac{a-2}{2b}}$の整数部分は$\text{イ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{キ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\log {\displaystyle \frac{(n+1)(n+3)}{{(n+2)}^2}}=\text{ウ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{キ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　媒介変数$t$で表された曲線$x=t^2-1\text{，}$$y=t^3-t$上の点$(1,\sqrt{2})$における接線の方程式は$\text{ニ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{キ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(5)　放物線$y^2+3y-5x+1=0$の焦点の座標は$\text{オ}$であり，準線の方程式は$\text{カ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{キ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(6)　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,1,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,0,1)$を通る平面を$\alpha$とする．原点$\mathrm{O}$$(0,0,0)$から$\alpha$に垂線を引き，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標は$\text{キ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{ク}$から$\text{サ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　複素数平面上で，方程式$z^4=-8+8\sqrt{3}i$の解を頂点とする四角形を$S$とする．また，複素数$\alpha$に対し方程式$|z-\alpha |=1$を満たす点$z$全体を$C(\alpha )$とする．$\alpha$が$S$の内部と周を動くとき，$C(\alpha )$が通過する領域の面積は$\text{ク}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{ク}$から$\text{サ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　自然数$k$と正の実数$t$に対し$f_{k,t}(x)=x^k{e}^{-\frac{x}{t}}\text{，}$$g_{k,t}(x)={\displaystyle \frac{x^{k+1}}{t^2}}{e}^{-\frac{x}{t}}$とおく．また，正の実数$M$について

$S_{k,t}(M)={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{M}}^M}{f}_{k,t}(x)\mathit{dx}\text{，}$$I_{k,t}(M)={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{M}}^M}{\displaystyle \frac{{\{g_{k,t}(x)\}}^2}{f_{k,t}(x)}}\mathit{dx}$

とおくとき，$\underset{M\to \infty }{\lim }{S}_{3,2}(M)=\text{ケ}$であり，$\underset{M\to \infty }{\lim }{I}_{3,2}(M)=\text{コ}$である．ただし，自然数$k$に対し$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}{x}^k=0$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{ク}$から$\text{サ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$(1+\tan 20\mathrm{°})(1+\tan 21\mathrm{°})(1+\tan 22\mathrm{°})(1+\tan 23\mathrm{°})$$\times (1+\tan 24\mathrm{°})(1+\tan 25\mathrm{°})=\text{サ}$である．

【３】　右の表は，あるクラス$30$人が受けたテストの結果である．例えば，得点が$50$点の者は$5$人いる．クラス$30$人から$n$人を選び，その得点の平均値を$M(n)$とするとき，$M(n)\geqq 74$となる確率を$p(n)$とする．このとき，$p(2)$および$p(3)$を求めよ．

【４】　$a$を実数とする．方程式$x^2-2ax-\left|x\right|+a^2=0$が，$-1<x<4$の範囲に少なくとも$1$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b$を実数とし，$a>0$とする．$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-ax-b}}}$のとき，以下の問いに答えよ．

【６】　$n$を$2$以上の自然数とする．$n$進法で表された整数の列