2020　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　関数$y={\log }_{2}x+{\log }_4(-2x+1)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めなさい．

【２】　$c$を正の実数とする．空間において，原点$\mathrm{O}$および$3$点$\mathrm{A}$$(9,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,8,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,4,c)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$の中点$\mathrm{L}$を通り直線$\mathrm{BC}$に直交する平面を$\alpha \text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点$\mathrm{M}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する平面を$\beta \text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{N}$を通り直線$\mathrm{OC}$に直交する平面を$\gamma$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　平面$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の交点を$\mathrm{X}$とする．点$\mathrm{X}$の座標を求めなさい．

(2)　辺$\mathrm{OB}$の中点を通り，直線$\mathrm{AC}$に直交する平面上に点$\mathrm{X}$はあるか．理由を述べて答えなさい．

(3)　点$\mathrm{X}$が四面体$\mathrm{OABC}$の表面および内部にあるような$c$の値の範囲を求めなさい．

【３】　$n$を$3$以上の自然数とする．曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて，

$x={\cos }^n\theta \text{，}$ $y={\sin }^n\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で表されている．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，$\mathrm{▵OAB}$の面積の最大値は${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}$であることを示しなさい．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{\cos x}^{\sin x}}\sqrt{1-t^2}\mathit{dt}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，関数$f(x)$の増減，グラフの凹凸を調べて，そのグラフの概形をかきなさい．