2020　信州大学　前期　経法，理，医MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　不等式${\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^{x+2}>{\left({\displaystyle \frac{1}{27}}\right)}^x$を解け．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　${2020}^{10}$を$7$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)=x^3-9x^2+23x-12$に対し，曲線$y=f(x)$と，曲線上の点$(2,6)$における接線とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　実数$k\text{，}$$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対し，$x$についての方程式

$x^3-(2a+c)x^2$$+(4a-4b+2c+1)x$$-{\displaystyle \frac{k^2}{2}}=0$

を考える．ただし，$k\geqq 0$かつ$b\ne 0$とする．この方程式が$x=2\text{，}$$x=a+bi$を解にもつとき，$k$がとりうる値の範囲を求めよ．ここで，$i$は虚数単位である．

【３】　座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}$$(1,-2,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,-2,5)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に垂直な平面を$\alpha$とする．

(1)　平面$\alpha$に関し，点$\mathrm{B}$と対称な点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OBC}$の面積を求めよ．

【４】　変曇$a$のデータの値が

$a_k=\cos (2k\theta )$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

であるとする．ただし，$0<\theta <\pi$である．

(1)　データの平均値$\bar{a}$は

$\bar{a}={\displaystyle \frac{1}{2n\sin \theta }}\{\sin (2n\theta +\theta )-\sin \theta \}$

で与えられることを示せ．

(2)　$n=10\text{，}$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{20}}$のとき，データの標準偏差$s$を求めよ．

【５】　$2$つの関数

$f(x)=(1-\sqrt{2})x^2+3\sqrt{2}-2$

$g(x)=\sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2})$

を考える．放物線$y=f(x)+g(x)$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=4$の$y>0$の部分を$C_2$とする．

(1)　放物線$y=f(x)$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【６】　$a>-3$とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{x+2}{x^2+1}}$の閉区間$[-3,a]$における最大値と最小値の差が${\displaystyle \frac{11}{5}}$であるとき，$a$の値を求めよ．

【７】　$0<r<1$とし，半径$1$の円$C_1$と半径$r$の円$C_2$の中心は一致しているとする．円$C_1$に内接し，円$C_2$に外接する円をできるだけたくさん描く．ただし，どの$2$つの円も共有点の個数は$1$以下とする．描いた円の円周の長さの総和を$f(r)$とするとき，

$\underset{r\to 1-0}{\lim }f(r)$

を求めよ．