2020　信州大学　後期　理，繊維学部MathJax

2020　信州大学　後期　経法学部

易□　並□　難□

【１】　 $p > 1$ のとき，次の条件によって数列 ${a_{n}} ，$ ${b_{n}}$ を定める．

$a_{1} = 2 p - 1 ，$ $b_{1} = 2 p + 1 ，$

$a_{n + 1} = (p + 1) a_{n} + (p - 1) b_{n} - 1 ，$ $b_{n + 1} = (p - 1) a_{n} + (p + 1) b_{n} + 1$

(1)　数 ${a_{n} + b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　数列 ${a_{n} - b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　数列 ${a_{n}} ，$ ${b_{n}}$ の一般項を，それぞれ求めよ．

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【２】　 $k$ を実数とする． $x$ についての方程式

$9^{x} - k (3^{x} + 3^{- x}) + 9^{- x} + \frac{k^{2}}{4} + k - 17 = 0$

が実数解をもつとき，定数 $k$ の値の範囲を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　さいころを $4$ 個同時に投げ，出た目を並べてできる $4$ 桁の数のうち最小のものを $n$ とする．例えば， $4$ つの目が $1 ，$ $2 ，$ $4 ，$ $2$ のときは $n = 1224$ である．

(1)　 $n$ が $5$ の倍数である確率を求めよ．

(2)　 $n$ が偶数である確率を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　複素数 $z$ と $w$ が以下の条件を満たすとする．

$w z = \overline{w} \overline{z} ，$ $| w | = | z |$

複素数平面において，点 $z$ が $| z - 3 \sqrt{3} - 3 i | = 2$ を満たしながら動くとき，点 $w$ はどのような図形を描くか．また， $θ = \arg w$ とするとき， $\sin θ$ の値の範囲を求めよ．

（出題者補足）下線部は以下の意味です．

上記の条件をすべて満たす点 $w$ の描く図形を求めよ．

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易□　並□　難□

【５】　 $k$ を実数とし，関数 $f (x)$ を

$f (x) = \log (\frac{1 + x}{1 - x}) - k x$ $（ - 1 < x < 1 ）$

で定める．

(1)　 $F^{'} (x) = f (x)$ かつ $F (0) = 0$ を満たす関数 $F (x)$ を求めよ．

(2)　関数 $y = F (x)$ のグラフの凹凸を調べよ．

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【６】　関数 $f (x) = x^{2} + \sqrt{| x^{2} - 1 |}$ について，以下の問いに答えよ．

(1)　 $f (x)$ は $x = 1$ で微分可能でないことを示せ，

(2)　 $f (x)$ の $x > 0$ における極値を求めよ．

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