2020　信州大学　推薦　繊維（化学・材料学科）学部MathJax

【１】　右の図の四角形$\mathrm{ABCD}$について設問(1)〜(3)に答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle ACB}$の大きさを求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle ACD}$の大きさを求めよ．

(3)　対角線$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{AD}$は長さが等しい．$\mathrm{▵ACD}$に着目して辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

【２】　メタン$\text{（}\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4\text{）}$分子の立体構造は正四面体で，図１のように，炭素原子$\mathrm{C}$を立方体の重心に置くと$4$つの水素原子$\mathrm{H}$は，立方体の$4$つの頂点に位置する．結合角$\mathrm{\angle H‐C‐H}$を$\theta$とする．次の設問(1)〜(4)に答えよ．

(1)　図２のように，炭素の位置を点$\mathrm{O}\text{，}$$4$つの水素の位置を頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$から$\cos \theta$を求める関係式を示せ．

(2)　図３のように，立方体の重心を$\mathrm{xyz}$座標の原点におき，$6$つの面の中心を通るように$x\text{，}$$y\text{，}$$z$軸を設定する．この立方体の辺の長さを$2$としたときの頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を用いて，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のそれぞれの大きさを求めよ．

(4)　(1)〜(3)の結果より，$\cos \theta$を求めよ．

【３】　関数$y=|e^{-x}-a|$（ただし，$e^{-1}<a<1\text{）}$が表す曲線と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$で囲まれる部分の全面積を$S(a)$とする．次の設問(1)〜(3)に答えよ．

(1)　$y=0$となる$x$を求めよ．また，右のグラフに関数を描き，$S(a)$を斜線で図示せよ．

(2)　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S(a)$が最小となる$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．