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2020 静岡大学 前期

教育,理(生命科,地球科学科),農,地域創造学環

配点25%

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面上において,放物線 y =-x2 +2x +2 C 1 とし,実数 a b を定数とする放物線 y =x2 -2a x+a 2+b C2 直線 y =2a x-2 b L とする.放物線 C 2 と直線 L が接しているとき,次の問いに答えよ.

(1)  a b が満たす条件を求めよ.

(2) 放物線 C 2 が放物線 C 1 と共有点を 2 点持ち, 1 つの共有点の x 座標が負で他の共有点の x 座標が正となるときの定数 a の値の範囲を求めよ.

(3)  a が(2)の範囲を動くとき, 2 つの放物線 C1 C2 で囲まれた図形の面積を S とする. S の最大値とそのときの a の値を求めよ.

2020 静岡大学 前期

教育,理(物理,化,生命科,地球科学科),工,情報(情報科学科),農,地域創造学環

理(物理,化学科),工,情報(情報科学科)学部は【3】

配点25%

易□ 並□ 難□

【2】 平面上の 3 つのベクトル a b c が,条件

| a |= 1 | b |= n | c |= mn c =2m a +2 b (*)

を満たしている.ただし, m n は自然数で m >n3 を満たすとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) ベクトル p q に対して,

| p +q | | p |+ | q |

が成り立つことを示せ.

(2) 条件(*)を満たす自然数 m n の組 (m, n) をすべて求めよ.

(3) (2)で求めた組 (m, n) のうち,内積 a b の値が整数になるときの組 (m, n) を求め, a b のなす角 θ を求めよ.

2020 静岡大学 前期

教育,理(生物科,地球科学科),農,地域創造学環

配点25%

理(物理,化学科),情報(情報科学科)学環【1】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 男子 15 人,女子 13 人のあわせて 28 人のクラスから 4 人の委員を次の手順で選ぶ.

手順1  最初に 28 人の中からくじ引きで 3 人の委員を選ぶ.

手順2  手順1の結果,男子 3 人が委員に選ばれた場合,残りの 1 人の委員を女子の中からくじ引きで選ぶ.手順1の結果,女子 3 人が委員に選ばれた場合,残りの 1 人の委員を男子の中からくじ引きで選ぶ.手順1の結果,男子 2 人と女子 1 人,または男子 1 人と女子 2 人が委員に選ばれた場合,残りの 1 人の委員をまだ委員に選ばれていない 25 人の中からくじ引きで選ぶ.

 このとき,次の問いに答えよ.

(1) 男子 2 人,女子 2 人が委員に選ばれる確率を求めよ.

(2) 男子 2 人,女子 2 人が委員に選ばれ,かつこの委員の中にクラスの特定の男子 1 名「静岡太郎」が含まれている確率を求めよ.

2020 静岡大学 前期

教育,理(生物科,地球科学科),農,地域創造学環

配点25%

易□ 並□ 難□

【4】 数列 {an } を次のように定める.

a1= 12 an+ 1= 2an -413 an- 8 n=1 2 3

 また,自然数 k に対して,整数 p k k 3 で割ったときの商とし,

Sn = k= 1n ak pk

とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a2 a3 a4 の値をそれぞれ求めよ.

(2)  S9 の値を求めよ.

(3)  S3 m S3 m+1 S3 m+2 m=2 3 m を用いてそれぞれ表せ.

2020 静岡大学 前期

理(数,物理,化学科),工,情報(情報科学科)学部

配点25%

教育,理(生物科,地球科学科),農,地域創造学環【3】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 男子 15 人,女子 13 人のあわせて 28 人のクラスから 4 人の委員を次の手順で選ぶ.

手順1  最初に 28 人の中からくじ引きで 3 人の委員を選ぶ.

手順2  手順1の結果,男子 3 人が委員に選ばれた場合,残りの 1 人の委員を女子の中からくじ引きで選ぶ.手順1の結果,女子 3 人が委員に選ばれた場合,残りの 1 人の委員を男子の中からくじ引きで選ぶ.手順1の結果,男子 2 人と女子 1 人,または男子 1 人と女子 2 人が委員に選ばれた場合,残りの 1 人の委員をまだ委員に選ばれていない 25 人の中からくじ引きで選ぶ.

 このとき,次の問いに答えよ.

(1) 男子 3 人,女子 1 人が委員に選ばれる確率を求めよ.

(2) 男子 2 人,女子 2 人が委員に選ばれる確率を求めよ.

(3) 男子 1 人,女子 3 人が委員に選ばれる確率を求めよ.

(4) 男子 2 人,女子 2 人が委員に選ばれ,かつこの委員の中にクラスの特定の男子 1 名「静岡太郎」が含まれている確率を求めよ.

2020 静岡大学 前期

理(数,物理,化学科),工,情報(情報科学科)学部

配点25%

易□ 並□ 難□

【2】  2 以上の自然数 n に対して,

an= 1 2n tan π 2n

とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  0<x< π2 のとき,等式

2 tanx = 1tan x2 - tan x2

が成り立つことを証明せよ.

(2) 等式

i=2 na i= 12n tan π2n

が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.

(3) 無限級数 n= 2 an の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ.

2020 静岡大学 前期

理(数,物理,化学科),工,情報(情報科学科)学部

理(物理,化学科),工,情報(情報科学科)学部は【4】

配点25%

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底を表す.

(1) 曲線 y =logx x 軸および直線 x =e2 で囲まれた図形の面積を求めよ.

(2) (1)の図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.

(3) 関数 f (x )= x2+1 + 12 log x2+1 -1 x2+ 1+1 の導関数を求めよ.

(4) 曲線 y =logx 3x 2 2 の長さを求めよ.

2020 静岡大学 前期

理(数学科)学部

配点25%

易□ 並□ 難□

【4】  a b c を実数の定数とし,関数

f( x)= x +aa x-1 g( x)= x-b bx+ 1 h( x)= x -cx +1

を考える.このとき,次の問いに答えよ.ただし,一般に関数 f (x ) に対して

(f ff) (x )=f (f (f (x) ))

とする.また, 2 つの関数 f (x ) g (x ) の値が共に定義されるすべての x において等しいとき, f( x)= g( x) で表す.

(1)  (f ff) (x )=f (x ) であることを証明せよ.

(2)  f( x)= g( x) を満たす実数 a b の組は存在しないことを証明せよ.

(3)  g( x)= ( cosθ) x-sin θ( sinθ) x+cos θ となる実数 θ - π2 <θ <π 2 の範囲でただ 1 つ存在することを証明せよ.

(4) 各実数 c に対して, (g g g) (x) =h( x) を満たす実数 b が存在することを証明せよ.

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