2020　静岡大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を$b<a$をみたす正の定数とする．原点$\mathrm{O}$を中心とする円$x^2+y^2=a^2$と楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$の$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$の部分をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．$C_2$上に点$\mathrm{P}$$(x_0,y_0)$$\text{（}0<x_0<a\text{）}$をとり，$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線を$l$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{D}\text{，}$$l$と$C_1$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{P}$における$C_2$の接線を$m$とし，接線$m$と$y$軸および$C_2$で囲まれた領域の面積を$S_1\text{，}$接線$m$と$x$軸および$C_2$で囲まれた領域の面積を$S_2$とする．$\mathrm{\angle QOD}=\theta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_0\text{，}$$y_0$をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$S_1$を$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線と$y$軸および$C_1$で囲まれた領域の面積を$T_1$とするとき，$S_1$と$T_1$の比を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{P}$が$C_2$上$\text{（}0<x_0<a\text{）}$を動くとき，$S_1=S_2$となるときの$\theta$を求めよ．

【２】　複素数$\alpha$は${\alpha }^5=1\text{，}$$\alpha \ne 1$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式$1+\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3+{\alpha }^4=0$が成り立つことを示せ．

(2)　$(1-\alpha )(1-{\alpha }^2)(1-{\alpha }^3)(1-{\alpha }^4)$が実数であることを示し，その値を求めよ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$を満たす実数$\theta$に対して，$z=\cos \theta +i\sin \theta$とおく．このとき，等式

$|1-z|=2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

が成り立つことを示せ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(4)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$の値を求めよ．

【１】　自然数$n$に対して，${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n$を数直線上の点とし，点${\mathrm{A}}_n$の座標を$a_n\text{，}$点${\mathrm{B}}_n$の座標を$b_n$で表す．ただし，$a_1=0\text{，}$$b_1=1$とし，点${\mathrm{A}}_{n+1}$を点${\mathrm{A}}_n$と点${\mathrm{B}}_n$の中点，点${\mathrm{B}}_{n+1}$を線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を$4:1$に外分する点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(3)　$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(4)　$b_n-a_n$を$n$を用いて表せ．

(5)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面上に$3$点$\mathrm{A}$$(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\cos (-\theta ),\sin (-\theta ),0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(x,y,z)$をとる．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$z>0$であり，$\mathrm{\angle COA}=\mathrm{\angle COB}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle COA}=\alpha$とおく．このとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle COA}=\mathrm{\angle AOB}$かつ$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$のとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$をそれぞれ求めよ．

【４】　$e$を自然対数の底とし，関数$f(x)=(2x-1)e^{-{\displaystyle \frac{x}{3}}}$を考える．$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形を描け．必要ならば，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を用いてよい．

(2)　$C$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　原点を通る$C$の接線をすべて求めよ．

(4)　(3)で求めた接線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$p\text{，}$$q$を異なる素数とするとき，次の各命題が真であることを証明せよ．

(1)　${}_{p}C_1\text{，}$${}_{p}C_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${}_{p}C_{1-p}$はいずれも$p$の倍数である．

(2)　すべての自然数$n$に対して$n^p-n$は$p$の倍数である．

(3)　すべての自然数$n$に対して$n^{(p-1)(q-1)+1}-n$は$pq$の倍数である．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において$\mathrm{OA}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{7}$とする．頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分している．また，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{AR}$の交点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{AR}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値と線分ABの長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(5)　$\mathrm{▵LMN}$が正三角形であることを示し，$\mathrm{▵LMN}$の$1$辺の長さを求めよ．