2020 浜松医科大学 前期医学部

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2020 浜松医科大学 前期

医学科

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(1)(a) 加法定理を利用し,等式

sinα -sinβ =2cos α +β2 sin α -β2

を証明せよ.

(b)  0 °< θ<90 ° のとき, sin2 θ=sin 3θ を満たす θ を求めよ.

(2) (1)(b)で求めた θ に対して, cosθ の値を求めよ.

(3)  3 つの三角比の積 sin 6 ° sin54 ° sin66 ° の値を求めよ.

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医学科

易□ 並□ 難□

【2】  k 2 以上の自然数とする.ここで,表と裏の出る確率がそれぞれ 12 のコインを 1 枚,先攻,後攻の順で交互に投げることを繰り返し, 1 辺の長さが 1 1 つの正方形を次のルールを用いて面積が k 以上の長方形になるまで拡張する.

ルール:コインを投げた結果,表が出たら縦の長さを 2 倍にし,裏が出たら横の長さを 2 増やす.

 このルールのもとで,どちらかの番のときに長方形の面積がちょうど k になれば,そのときにコインを投げた方が勝ちとする.また,ちょうど k にならずに k を超えてしまえば両者負けとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  k=80 のときに後攻が勝つ確率を求めよ.

(2)  k=40 のときに後攻が勝つ確率を求めよ.

(3)  2 以上のどんな自然数 k に対しても,先攻か後攻のどちらかが勝つ確率は 0 ではなくもう片方が勝つ確率が必ず 0 になることを証明せよ.

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【3】 平面上において,中心が (0, 1) 半径が 1 の円が x 軸上をすべることなくx軸の正の方向に向かって回転するとする.最初,円周上の定点 P は原点 O の位置にある.その位置から円が角 θ だけ回転したときの点 P の座標を (x ,y) とする.以下の問いに答えよ.

(1) そのときの x 軸と円の接点を A とするとき,長さ OA を求めよ.

(2)  x y θ で表せ.

(3)  θ 0 から 2 π まで動くときの点 P が描く曲線 C と,直線 y = 12 で囲まれた部分の面積を求めよ.

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【4】 以下は, A 病院, B 病院の,ある月の患者の肝臓の機能を表す AST の値のデータ(有効数字は 2 桁)である.

A 病院: 30 18 44 38 70 20 50 43 32 19 32 36 64 43 19 30 37 41 33 21

(平均値は 36 標準偏差は 13.8 である.)

B 病院: 35 24 54 43 42 19 34 46 48 80 30 65 74 63 24

(平均値は 45.4 標準偏差は 18.1 である.)

(上記の標準偏差は小数第 2 位を四捨五入した値である.)

 以下の問いに答えよ.

(1) これら 2 つのデータの集まりについて,それぞれの四分位数を求め,箱ひげ図を 2 つが比較できるように並べてかけ.

(2)  A 病院と B 病院の箱ひげ図を比較しその傾向を調べると,その 2 つの傾向は異なることが分かった. 2 つの箱ひげ図の傾向が異なると判断できる理由を 1 つ述べよ.(ここでは医学的知識による解答は求めていない.)

(3) 次の(a),(b)に答えよ.

(a)  2 以上の自然数 n に対して, n 個の数値 x 1 x2 xn からなるデータ X の平均値を x 標準偏差を s x とし,

zi= x i-x s x i=1 2 n

を考える.ただし, sx> 0 とする.このとき n 個の数値 z 1 z2 zn からなるデータ Z の平均値 z と標準偏差 s z の値を求めよ.

(b) 上記の 2 病院 A B のデータに対して,各病院においては,検査に用いる試薬の違いがあり, A 病院は 18 から 45 B 病院では 20 から 40 と, 2 病院によって基準範囲(この範囲であれば正常と考えられる範囲)が異なることが分かった.

 このような, A 病院と B 病院の AST の値の例のように,データの集め方や基準が異なる 2 つの集団を 1 つの集団としてデータの分析を行いたいが,平均値や標準偏差,基準範囲などが異なるデータの集まり 2 つをそのまま混ぜ合わせて 1 つの集まりとすることは避け,なるべく意味のある分析を行うための方法を提案せよ.ただし, A 病院と B 病院のような例においては, 2 病院の基準範囲が一致することは前提としない.

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