2020　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　$x>-1$において，関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{e^{kx}}{\sqrt{x^3+1}}}\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^3+1}}$

により定義する．ただし，$k$は定数である．

(1)　$f^{\prime }(x)$を計算せよ．

(2)　$g(x)$の増減を調べ，$g(x)$の極値を求めよ．

(3)　方程式$f^{\prime }(x)=0$の相異なる実数解の個数を求めよ．

(4)　$f(x)$が極値をとる$x$の値の個数を求めよ．

【２】　初項が$x_1=2\text{，}$$y_1=1$である数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$を次で定める．

$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=2x_n+5y_n\\ y_{n+1}=x_n+2y_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　数列$\{{x_n}^2-5{y_n}^2\}$の一般項を求めよ．

(2)　自然数$n$を含む次の条件を$({\mathrm{P}}_n)$とする．

$({\mathrm{P}}_n)$　$x_n\geqq 2y_n$かつ$y_n\geqq 4^{n-1}$

$k$を自然数とする．$({\mathrm{P}}_k)$が成り立つならば$({\mathrm{P}}_{k+1})$も成り立つことを示せ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}$を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面内の円$x^2+y^2=1$を$C$とする．${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq t\leqq 1$を満たす$t$に対し，直線$y=-x+\sqrt{2}t$を$l$とし，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．次の連立不等式で表される平面図形を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\geqq 1\\ y\leqq -x+\sqrt{2}t\\ 0\leqq y\leqq x\end{array}$

$C$と$l$の共有点で$\mathrm{D}$に属する点を$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とする．$\mathrm{D}$の面積を$S(t)$とする．

(1)　$t$を$\theta$で表せ．

(2)　$S(t)$を$\theta$で表せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1}S(t)\mathit{dt}$の値を求めよ．

(4)　座標空間内の$4$点$(\sqrt{2},0,0)\text{，}$$(0,\sqrt{2},0)\text{，}$$(-\sqrt{2},0,0)\text{，}$$(0,-\sqrt{2},0)$を頂点とする正方形を$R$とする．$R$を底面とし，点$(0,0,1)$を頂点とする四角錐を$V$とする．すなわち，$V$は次の連立不等式で表される．

$\{\begin{array}{l}0\leqq z\leqq 1\\ \left|y\right|\leqq -\left|x\right|+\sqrt{2}(1-z)\end{array}$

また，$x^2+y^2<1\text{，}$$0\leqq z\leqq 1$で表される円柱を$W$とする．$V$から$W$を除いた立体を$K$とする．$z$軸に直交する平面による$K$の断面を考えることで，$K$の体積を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$の$3$辺の長さは

$\mathrm{OA}=8\text{，}$$\mathrm{OB}=10\text{，}$$\mathrm{AB}=12$

である．この三角形の外心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{．}$$\overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{D}$をとり，${\displaystyle \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OA}}}=x$とする．直線$\mathrm{DG}$が辺$\mathrm{OB}$と交わるための$x$の値の範囲を求めよ．

(5)　(4)の範囲で点$\mathrm{D}$を動かす．直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，三角形$\mathrm{ODE}$の面積の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．