2020　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x^2+1}}$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{2x^3-x^2+5}{x^2+1}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　数列$\{I_n\}$を

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^x\mathit{dx}$$\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．$n\geqq 1$について$I_n$を$I_{n-1}$で表す漸化式を作れ．

(4)　関数$f(x)$が

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}+e^x+{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)(2t^3-t^2+5)\mathit{dt}$

を満たしている．$f(x)$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=|x^3-x^2-x+1|-|3x-3|$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$の値域を求めよ．

【３】　座標空間内に，$\mathrm{O}$$(0,0,0)$と$\mathrm{A}$$(2,0,0)$を頂点にもつひし形$\mathrm{OABC}$がある．ただし，$\mathrm{B}$の$y$座標は正で，$z$座標は$0$である．$\mathrm{\angle AOC}=\theta$とし，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．次の条件を満たす点$\mathrm{D}$を考える．

$\mathrm{\angle AOD}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \text{，}$$\mathrm{OD}=2$

(1)　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{D}$が同一直線上にあるとき，$\theta$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{B}$の座標を$\theta$で表せ．

(4)　$\mathrm{BD}=4$となる$\mathrm{D}$をとることができる$\theta$の範囲を求めよ．

(5)　$\mathrm{BD}=4$の条件の下で，$\mathrm{DM}$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$0$以上の整数$n$に対して複素数$z_n\text{，}$$S_n$を次で定める．

$z_n=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2^n}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2^n}}$

$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{2^n-1}}{z_n}^k$

ただし，${z_n}^0=1$とする．

　また，複素数$w_n$を

$\{\begin{array}{l}{w}_0=1\\ w_n={\displaystyle \frac{1+z_n}{2}}{w}_{n-1}& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

により定める．

(1)　$w_2$を計算せよ．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$z_{n-1}$を$z_n$で表せ．

(3)　$n\geqq 1$のとき，${\displaystyle \frac{S_n}{S_{n-1}}}$を$z_n$で表せ．

(4)　$w_n$の実部$a_n$を求めよ．

(5)　$w_n$の虚部を$b_n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．